Ohne Zuordnung · Spezielle Relativitätstheorie
Zwillingsparadoxon
Zwei Zwillinge: Einer bleibt auf der Erde, der andere fliegt zu einem Stern und zurück. Für beide gilt doch, dass die Uhr des anderen langsamer geht. Wer ist also am Ende jünger? Die Frage hat eine klare Antwort, denn die Lage ist nicht symmetrisch: Nur einer wendet. Beide senden jedes Jahr ein Lichtsignal. Wenn du diese Signale zählst, siehst du das Ergebnis, ohne dass jemand die Formel für die Zeitdilatation glauben muss.
So gehst du vor
- 1Wähle ein Ziel und stelle das Tempo β ein. Das Bild zeigt sofort beide Weltlinien.
- 2Tippe „Reise starten“ oder ziehe den Regler für die Zeit. Die Punkte auf den Weltlinien zeigen, wo die Zwillinge gerade sind.
- 3Zähle, wie viele Signale jeder bis zur Wende und danach bekommt. Unter dem Bild laufen die Zähler mit.
- 4Vergleiche beide Uhren am Ende. Erst dann „Doppler-Rechnung zeigen“.
- 5Schalte die Gleichzeitigkeitslinien zu: Was hält der Reisende für „jetzt auf der Erde“?
Uhr auf der Erde
0,00 a
Uhr in der Rakete
0,00 a
Erde hat empfangen
0 Signale
Rakete hat empfangen
0 Signale
Beide Achsen haben dieselbe Einheit: 1 Lj ist die Strecke, die das Licht in 1 a zurücklegt. Deshalb läuft Licht im Bild unter 45°. Die Wende dauert hier keine Zeit; eine echte Rakete bräuchte dafür lange Schubphasen, an der Aussage ändert das nichts.
Ziel
Entfernung d
4,0 LjTempo β = v : c
0,80Erdzeit t
0,00 aDer Reiseplan
γ = 1,667, Doppler-Faktor k = 3,00
Erde: T = 2 · d : v = 10,00 a
Je Flugstrecke: Δt = 5,00 a, Δx = 4,0 Lj
Eigenzeit je Strecke: Δτ = √Δt² − (Δx : c)² = 3,00 a
Rakete: τ = 6,00 a, der Reisende ist 4,00 a jünger.
Signale zählen
Wer sich vom Sender entfernt, bekommt die Jahressignale im Abstand k Jahre, wer sich nähert, im Abstand 1 : k Jahre. Dabei ist k = √(1 + β) : (1 − β) der Doppler-Faktor. Beide Zwillinge erleben also dieselben zwei Takte. Der Unterschied ist nur, wie lange jeder im langsamen Takt bleibt.
Warum ist die Lage nicht symmetrisch?
- Nur der Reisende wechselt das Bezugssystem. Der Zwilling auf der Erde bleibt die ganze Zeit in einem Inertialsystem. Der Reisende sitzt erst in einem, nach der Wende in einem anderen. Er spürt das auch: Beim Wenden drückt es ihn in den Sitz.
- Beim Reisenden wechselt der Signaltakt in der Mitte seiner Reise. Er selbst wendet ja. Auf der Erde wechselt der Takt erst, wenn das Licht der Wende angekommen ist. Das ist fast am Ende der Reise. Die Erde bleibt also länger im langsamen Takt.
- Die Weltlinien sind verschieden lang. Zwischen Start und Ankunft hat die gerade Weltlinie die größte Eigenzeit, jeder Umweg kostet Eigenzeit. Das ist das Gegenteil der Geometrie im Raum, wo die Gerade der kürzeste Weg ist. Der Grund ist das Minus in Δt² − (Δx : c)².
- Im Bild der Gleichzeitigkeitslinien: Auf beiden Flugstrecken geht die Erduhr für den Reisenden wirklich langsamer. Bei der Wende kippt aber seine Gleichzeitigkeitslinie, und sein „Jetzt auf der Erde“ springt um 6,40 a nach vorn.
Aufträge
- Stelle d = 4,0 Lj und β = 0,80 ein. Bestimme ohne die Anzeige, wie viel Zeit für jeden Zwilling vergeht. Prüfe dann mit der Reise.
- Bleib bei diesen Werten und zähle: Wie viele Signale bekommt jeder Zwilling im langsamen und im schnellen Takt? Bestimme aus dem Bild beide Takte.
- Warum wechselt der Takt beim Reisenden nach der Hälfte seiner Reise, auf der Erde aber erst nach 9 von 10 Jahren? Zeige die Stelle im Bild.
- Schalte die Gleichzeitigkeitslinien ein. Der Reisende rechnet: Auf dem Hinflug geht die Erduhr langsamer. Wie viel Erdzeit vergeht für ihn auf dem Hinflug, wie viel auf dem Rückflug? Wo bleibt der Rest der 10 Jahre?
- Fliege mit β = 0,99 nach Proxima Centauri und zurück. Wie lange dauert das für beide? Was ändert sich, wenn du β von 0,99 auf 0,90 senkst?
- Du willst nach Tau Ceti und zurück, und in der Rakete sollen nur 10 Jahre vergehen. Bestimme das nötige Tempo, zuerst durch Probieren, dann durch Rechnen.
- Jemand sagt: „Der Effekt kommt von der Beschleunigung beim Wenden.“ Prüfe das: Vergleiche die Reisen d = 2 Lj und d = 12 Lj mit gleichem Tempo. Die Wende ist in beiden Fällen dieselbe.
Die Seiten Zeitdilatation und Minkowski-Diagramm zeigen die Grundlagen.