Ohne Zuordnung · Spezielle Relativitätstheorie

Zeitdilatation

Die einfachste Uhr: Ein Lichtpuls läuft zwischen zwei Spiegeln im Abstand d hin und her. Jede Rundreise ist ein Tick. Im Raumschiff dauert ein Tick t₀ = 2d : c. Von der Erde aus läuft das Licht im Zickzack, also einen längeren Weg. Da es auch für die Erde genau mit c läuft, muss der Tick von außen länger dauern: Die bewegte Uhr geht langsamer.

So gehst du vor

1Stelle das Tempo ein. Nahe bei 1 wird der Regler von selbst feiner, die Knöpfe springen auf feste Werte.
2Vergleiche den Weg des Lichts links und rechts. Das Licht läuft in beiden Bildern gleich schnell.
3Vergleiche rechts unten Erduhr und Bordzeit. Halte an und lies beide Zeiten ab.
4Rechne die Herleitung unten für deinen Wert von β nach.

Erduhr t

0 ns

Bordzeit t₀

0 ns

1,667

Tempo β = v : c

0,8 (γ = 1,667)

Zeitlupe: Ein Tick von 20,0 ns dauert im Film 1,6 s. Links läuft der Film in der Zeit des Raumschiffs. Dort merkt niemand etwas: Die Uhr geht normal. Rechts läuft der Film in Erdzeit. Das Raumschiff erscheint dort in Flugrichtung verkürzt (Seite Längenkontraktion), der Spiegelabstand quer dazu bleibt gleich. Am rechten Rand erscheint es wieder links.

t₀ heißt Eigenzeit: die Zeit zwischen zwei Ereignissen am selben Ort, gemessen mit einer einzigen mitgeführten Uhr. t ist die Zeit zwischen denselben Ereignissen in einem System, in dem sie an verschiedenen Orten stattfinden.

Herleitung von γ mit dem Satz des Pythagoras

Von der Erde aus dauert ein Tick die Zeit t, der Weg zum oberen Spiegel also t : 2. Für diesen halben Tick gilt:

(c · t2)² = (c · t₀2)² + (v · t2)²

t² · (c² − v²) = c² · t₀²⇒t² · (1 − β²) = t₀²

t = t₀√1 − β² = γ · t₀mitγ = 1√1 − β²

Für β = 0,8: Lichtweg 5,00 m, Flugstrecke 4,00 m, Spiegelabstand 3,00 m. Also t = 33,4 ns statt t₀ = 20,0 ns.

Wie γ mit dem Tempo wächst

Eine Stunde Bordzeit dauert von der Erde aus 1,67 h. Bis β = 0,1 ist die Wirkung kleiner als ein Prozent, bei β → 1 wächst γ über alle Grenzen.

Aufträge

Stelle β = 0,6 ein und nulle die Uhren. Halte an, wenn die Erduhr ungefähr 200 ns zeigt. Was zeigt die Bordzeit? Bestimme daraus γ.
Berechne für β = 0,8 mit dem Dreieck die Seiten für d = 3 m und daraus t. Prüfe mit der Anzeige unter der Herleitung.
Welches Tempo gehört zu γ = 2, γ = 10 und γ = 50? Rechne erst, stelle dann am Regler ein.
GPS-Satelliten fliegen mit rund 3,9 kms. Wie viel geht ihre Uhr wegen dieses Tempos an einem Tag nach? Benutze γ ≈ 1 + β²2, denn ein Taschenrechner schafft das nicht direkt.
Für das Raumschiff fliegt die Erde. Also geht von dort aus die Erduhr langsamer. Warum ist das kein Widerspruch?
Was würde bei β = 1 aus dem Dreieck? Warum kann ein Raumschiff diese Grenze nicht erreichen?

Die Herleitung nutzt nur zwei Annahmen: Licht läuft für beide mit c, und Längen quer zur Bewegung ändern sich nicht. Sie gilt für jede Uhr, nicht nur für die Lichtuhr: Sonst könnte man im Raumschiff aus dem Gang zweier verschiedener Uhren das eigene Tempo ablesen, und das widerspräche dem Relativitätsprinzip.