Ohne Zuordnung · Spezielle Relativitätstheorie
Minkowski-Diagramm
Ein Minkowski-Diagramm zeigt Raum und Zeit in einem Bild: waagerecht den Ort x, senkrecht c · t, damit beide Achsen dieselbe Einheit haben und Licht unter 45° läuft. Ein Punkt ist ein Ereignis: etwas, das an einem Ort zu einer Zeit geschieht. Ein System S′, das sich mit β bewegt, hat eigene Achsen. Sie kippen wie eine Schere auf die Lichtlinie zu. Dieselben Ereignisse bekommen dadurch andere Koordinaten, aber c² · t² − x² bleibt gleich.
So gehst du vor
- 1Ziehe die Ereignisse A und B mit dem Finger. Rechts laufen die Koordinaten in beiden Systemen mit.
- 2Ändere β mit dem Regler oder ziehe den blauen Punkt auf der c · t′-Achse.
- 3Gestrichelt in den Farben von A und B: alles, was in S′ gleichzeitig zu A und zu B ist. Wo diese Linien die c · t′-Achse treffen, liest du die Zeit in S′ ab.
- 4Liegt B im Lichtkegel von A? Tippe den Knopf für das besondere System S′ und sieh, was aus den Koordinaten wird.
Schwarz: Achsen von S, blau: Achsen von S′, orange: Licht. 1 Ls (Lichtsekunde) ist die Strecke, die das Licht in 1 s zurücklegt. Die Teilung auf den blauen Achsen ist im Bild gedehnt, weil die Zeichenebene euklidisch ist, die Raumzeit aber nicht.
Tempo von S′: β = v : c
0,40Beispiele
Koordinaten in Ls, γ = 1,091
| A | B | B − A | |
|---|---|---|---|
| x | −2,0 | 2,0 | 4,0 |
| c · t | 1,0 | 1,0 | 0,0 |
| x′ | −2,62 | 1,75 | 4,36 |
| c · t′ | 1,96 | 0,22 | −1,75 |
| c²t² − x² | −3,00 | −3,00 | −16,00 |
| c²t′² − x′² | −3,00 | −3,00 | −16,00 |
In der letzten Spalte stehen die Abstände c²Δt² − Δx².
Raumartig: B liegt außerhalb des Lichtkegels von A. Keine Wirkung kommt von einem zum anderen. Die Reihenfolge hängt vom System ab.
In S: A und B gleichzeitig. In S′: B vor A.
Aufträge
- Stelle β = 0,60 ein. An welchem Punkt des Bilds steht der Teilstrich c · t′ = 2? Lies ab und rechne nach. Was sagt das über eine Uhr, die in S′ ruht?
- Wähle das Beispiel „gleichzeitig in S“ und β = 0,50. Welches Ereignis geschieht in S′ zuerst? Woran siehst du das im Bild? Was passiert bei β = −0,50?
- Wähle „Ursache und Wirkung“. Versuche, mit dem Regler die Reihenfolge von A und B umzukehren. Warum gelingt das nicht, und warum ist das gut so?
- Lege A und B so, dass sie raumartig liegen, und tippe auf den Knopf „S′ wählen“. Welchen Wert hat dann Δx′? Vergleiche mit √Δx² − c²Δt².
- Rechne für A bei (1 | 3) und β = 0,60 die Koordinaten in S′ von Hand aus. Bestätige c²t² − x² = c²t′² − x′².
- Schalte die Hyperbeln ein und ändere β. Warum rutschen die blauen Teilstriche genau auf den Hyperbeln entlang?
- Stelle β nahe 1 ein. Was passiert mit den beiden blauen Achsen? Was würde bei β = 1 geschehen?
Die Formeln: x′ = γ · (x − β · c · t) und c · t′ = γ · (c · t − β · x).