Ohne Zuordnung · Spezielle Relativitätstheorie

Geschwindigkeiten addieren

Eine Rakete fliegt mit 0,6 c an der Erde vorbei und schießt nach vorn ein Geschoss ab, das gegen die Rakete 0,6 c schnell ist. Klassisch wäre das Geschoss gegen die Erde 1,2 c schnell. Das stimmt nicht: Zeit und Länge hängen vom Bezugssystem ab, also darf man Geschwindigkeiten nicht einfach addieren. Bei kleinen Tempi merkt man davon nichts, nahe c ist der Unterschied riesig. Geschwindigkeit steht hier immer als β = v : c.

So gehst du vor

1Ziehe die Spitzen der beiden oberen Pfeile mit dem Finger oder stelle β₁ und β₂ mit den Reglern ein.
2Vergleiche die graue klassische Summe mit dem roten relativistischen Pfeil.
3Schalte den Lichtpuls ein und ändere das Tempo der Rakete. Was bleibt gleich?
4Baue unten eine Stufenrakete und sieh zu, wie sie sich an β = 1 herantastet.

Grau die klassische Gerade β₁ + β₂, rot die relativistische Kurve für das eingestellte β₁. Am Rand β₂ = ±1 treffen sich die rote Kurve und die gestrichelte Grenze, egal wie schnell die Rakete ist.

Rakete gegen Erde β₁

0,60

Geschoss gegen Rakete β₂

0,60

klassisch

1,200

relativistisch

0,882

Rechnung

β_ges = β₁ + β₂1 + β₁ · β₂ = 1,201,3600 = 0,8824

Der Nenner macht den Unterschied: Er ist für kleine Tempi fast 1, nahe c fast 2.

Woher die Formel kommt: zwei Lorentz-Schritte

In S′ (der Rakete) gilt für das Geschoss x′ = β₂ · c · t′. Die Rücktransformation nach S (Erde) lautet x = γ · (x′ + β₁ · c · t′) und c · t = γ · (c · t′ + β₁ · x′). Einsetzen und teilen:

β_ges = xc · t = γ · (β₂ + β₁) · c · t′γ · (1 + β₁ · β₂) · c · t′ = β₁ + β₂1 + β₁ · β₂

Mit den eingestellten Werten: Nach c · t′ = 1 Ls ist das Geschoss in S′ bei x′ = 0,60 Ls. In S ist das das Ereignis x = 1,500 Ls, c · t = 1,700 Ls. Der Quotient ist 0,882, genau der Wert von oben. Der Faktor γ kürzt sich weg.

Stufenrakete

Grau klassisch, rot relativistisch; n ist die Zahl der Stufen.

Jede Stufe zündet, wenn die vorige ausgebrannt ist, und legt gegen die vorige dasselbe Tempo zu. Wer in der Rakete sitzt, merkt bei jeder Stufe dasselbe. Von der Erde aus wird der Zuwachs aber immer kleiner.

Zuwachs je Stufe β_S

0,50

Stufen n

Nach 5 Stufen: β = 0,99180, es fehlen noch 0,00820 bis zum Licht. Klassisch wären es 2,50.

Aufträge

Rechne β₁ = β₂ = 0,5 von Hand. Wie schnell wäre das Geschoss klassisch, wie schnell wirklich?
Stelle β₁ = β₂ = 0,90 ein. Wie weit liegt das Ergebnis unter 1? Findest du Werte unter 1, bei denen das Ergebnis über 1 liegt?
Schalte den Lichtpuls ein. Stelle für β₁ nacheinander 0, 0,5, 0,9 und −0,7 ein. Was fällt auf? Zeige es mit der Formel. Welches Experiment passt dazu?
Ein ICE fährt 83 ms, im Zug wirft jemand einen Ball mit 30 ms nach vorn. Um welchen Bruchteil unterscheidet sich die relativistische Rechnung von der klassischen?
Zwei Raketen fliegen sich von der Erde aus gesehen mit je 0,9 c entgegen. Auf der Erde schrumpft ihr Abstand um 1,8 c. Ist das ein Widerspruch? Wie schnell ist die eine, von der anderen aus gemessen?
Stelle β₁ = 0,80 und β₂ = −0,50 ein. Das Geschoss fliegt in der Rakete nach hinten. Wie schnell ist es gegen die Erde? Bei welchem β₂ steht es gegen die Erde still?
Stufenrakete mit β_S = 0,5: Wie viele Stufen braucht man für β > 0,99? Wie viele, um β = 1 zu erreichen?
Vom Zwillingsparadoxon kennst du den Doppler-Faktor k = √(1 + β) : (1 − β). Berechne k für 0,60. Wie groß ist k für das Ergebnis von 0,60 und 0,60? Was gilt also für die k-Werte beim Addieren?

Die Seite Minkowski-Diagramm zeigt die Lorentz-Transformation im Bild.