IMP 10 · Astronomie und logarithmische Darstellung
Bahnen numerisch
Für einen Wurf mit Luftwiderstand gibt es keine einfache Formel, für die Bahnen vieler Himmelskörper auch nicht. Der Computer rechnet deshalb in kleinen Zeitschritten: aus Ort und Geschwindigkeit jetzt die Werte einen Schritt später. Wie gut das klappt, hängt von der Schrittweite und vom Verfahren ab. Die Gesetze der Bahnen selbst zeigt die Seite Keplersche Gesetze, den Übergang vom Wurf zur Umlaufbahn die Seite Vom Wurf zur Umlaufbahn.
So gehst du vor
- 1Wähle Wurf oder Planetenbahn. Ziehe den Pfeil am Start oder nimm die Regler.
- 2Tippe „Schritt für Schritt“ und dann mehrmals „Nächster Schritt“: So entsteht die Bahn. Die Pfeile zeigen Geschwindigkeit und Beschleunigung am Euler-Punkt.
- 3Tippe „Alle Schritte“ und vergrößere die Schrittweite Δt. Vergleiche beide Verfahren mit der genauen Bahn.
- 4Lies den Energiefehler im unteren Graphen ab. Die Tabelle unten zeigt, was das Halbieren der Schrittweite bringt.
Eulerverbessertes Verfahrengenaue Bahn
Bewegung
Körper
Abwurfgeschwindigkeit v0
25,0 msAbwurfwinkel α
45 °Schrittweite Δt
0,20 s| Schritt 16 | t in s | x in m | h in m | Energiefehler |
|---|---|---|---|---|
| Euler | 3,09 | 35,35 | 0,00 | 6,42 % |
| verbessert | 2,98 | 34,47 | 0,00 | −0,063 % |
| genau | 2,98 | 34,46 | 0,00 | – |
Weite nach Euler 35,35 m, verbessert 34,47 m, genau 34,46 m. Energiefehler: Unterschied zur Energie auf der genauen Bahn zur selben Zeit, bezogen auf die Startenergie.
So rechnet der Computer einen Schritt
Euler-Verfahren
Beschleunigung a am Anfang des Schritts berechnen
xneu = x + v · Δt
vneu = v + a · Δt
Die Werte vom Anfang gelten für den ganzen Schritt. Auf einer gekrümmten Bahn läuft der Körper dadurch immer ein Stück zu weit nach außen.
Verbessertes Verfahren (Halbschritt)
Probe bis zur Mitte: xm = x + v · Δt2, vm = v + a · Δt2
Dort die Beschleunigung am berechnen
xneu = x + vm · Δt
vneu = v + am · Δt
Die Werte aus der Mitte des Schritts treffen den ganzen Schritt viel besser. Der Preis: Die Beschleunigung wird je Schritt zweimal berechnet.
Was bringt das Halbieren der Schrittweite?
| Δt in s | Fehler der Weite, Euler | kleiner um den Faktor | Fehler der Weite, verbessert | kleiner um den Faktor |
|---|---|---|---|---|
| 0,2000 | 0,890 m | – | 0,017 m | – |
| 0,1000 | 0,463 m | 1,9 | 0,00417 m | 4,0 |
| 0,0500 | 0,236 m | 2,0 | 0,00104 m | 4,0 |
| 0,0250 | 0,120 m | 2,0 | 0,00026 m | 4,0 |
Aufträge
- Wurf ohne Luft, v0 = 20 ms, α = 45°, Δt = 0,10 s: Rechne die ersten beiden Euler-Schritte mit dem Taschenrechner und vergleiche mit der Tabelle unter „Schritt für Schritt“. Warum fliegt der Ball nach Euler zu weit?
- Vergleiche für diesen Wurf das Euler-Verfahren und das verbesserte Verfahren bei Δt = 0,20 s. Das verbesserte Verfahren liegt genau auf der Parabel, auch mit großen Schritten. Woran liegt das?
- Tennisball und Tischtennisball: Wie stark verkürzt die Luft den Wurf mit v0 = 30 ms und α = 45°? Welche Form hat die Bahn am Ende? Warum liegt die beste Weite mit Luft unter 45°?
- Tennisball, v0 = 25 ms, α = 45°: Bestimme mit der Tabelle, um welchen Faktor der Fehler der Weite beim Halbieren von Δt sinkt. Wie viele Schritte braucht jedes Verfahren für einen Fehler unter 1 cm? Wechsle dann zur Planetenbahn. Was ändert sich?
- Planetenbahn mit v0 = 29,8 kms (fast die Kreisbahn der Erde), 3 Umläufe, Δt = 5 Tage. Beschreibe die Euler-Bahn. Was geschieht mit der Energie? Warum darf das nicht sein?
- Wähle v0 = 38 kms. An welcher Stelle der Bahn macht das Euler-Verfahren den größten Fehler? Schau dir den Graphen des Energiefehlers an. Wie muss eine gute Rechnung die Schrittweite wählen?
Bei einem Verfahren der Ordnung 1 sinkt der Fehler beim Halbieren der Schrittweite auf die Hälfte, bei Ordnung 2 auf ein Viertel. Das zeigt sich bei kleinen Schritten.