IMP 10 · Astronomie und logarithmische Darstellung
Keplersche Gesetze
Johannes Kepler fand um 1600 drei Gesetze. Erstes Gesetz: Planeten laufen auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Zweites Gesetz: Die Verbindungslinie Sonne – Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Drittes Gesetz: Für alle Planeten ist T² : a³ gleich.
So gehst du vor
- 1Wähle einen Himmelskörper oder forme die Bahn: Regler für a und e, oder ziehe den weißen Punkt.
- 2Beobachte die Flächenstücke: Jedes braucht gleich lange. Vergleiche ihre Form und die Anzeige ihrer Fläche.
- 3Lies Perihel und Aphel ab und vergleiche die Geschwindigkeiten.
- 4Rechne in der Tabelle selbst, bevor du die Spalten aufdeckst. Bestimme dann Planet X.
Ziehe den weißen Punkt, das ändert die Exzentrizität. Ziehe den Planeten, das hält ihn an. Gestrichelt: Erdbahn. Der Pfeil zeigt die Geschwindigkeit, im Perihel hat er immer dieselbe Länge.
Himmelskörper
Große Halbachse a
2 AEExzentrizität e
0,500Ein Umlauf im Bild dauert
12 sAbstand zur Sonne
1,000 AE
Geschwindigkeit
36,5 kms
Umlaufzeit
2,83 Jahre
Flächenstück 1 von 12
0,907 AE²
Flächenstücke je Umlauf
Perihel und Aphel
rP = a(1 − e) = 1 AE, vP = 36,5 kms
rA = a(1 + e) = 3 AE, vA = 12,2 kms
vPvA = rArP = 3
b = 1,732 AE
Drittes Gesetz: T² : a³ ist für alle gleich
Zentralkörper
| Planet | a in AE | T in Jahren |
|---|---|---|
| Merkur | 0,387 | 0,241 |
| Venus | 0,723 | 0,615 |
| Erde | 1 | 1 |
| Mars | 1,524 | 1,881 |
| Jupiter | 5,203 | 11,86 |
| Saturn | 9,537 | 29,46 |
| Uranus | 19,19 | 84,01 |
| Neptun | 30,07 | 164,8 |
Die Punkte liegen auf einer Geraden mit der Steigung 3 : 2, denn aus T² ~ a³ folgt lg T = 1,5 · lg a + konstant.
Planet X
Astronomen messen bei einem unbekannten Körper die Umlaufzeit T = 4,44 Jahre. Bestimme seine große Halbachse.
Aufträge
- Stelle Erde, Merkur und Halley ein. Wie stark weicht die Bahn jeweils von einem Kreis ab? Bestimme für Merkur den kleinsten und größten Abstand zur Sonne.
- Schalte „Abstände zu den Brennpunkten“ ein und ziehe den Planeten über die Bahn. Was gilt für r1 + r2? Begründe mit dem Halbachsen-Dreieck, dass a² = b² + (e · a)² gilt.
- Stelle e = 0,6 ein. Vergleiche das Flächenstück am Perihel mit dem am Aphel. Warum läuft der Planet nahe der Sonne schneller?
- Zeige mit der Rechnung im Kasten: Das Verhältnis der Geschwindigkeiten ist der Kehrwert des Verhältnisses der Abstände. Bestimme es für Halley.
- Die Erde steht Anfang Januar im Perihel. Erkläre, warum das Winterhalbjahr auf der Nordhalbkugel einige Tage kürzer ist als das Sommerhalbjahr.
- Berechne für drei Planeten T² und a³ selbst und decke dann die Spalten auf. Der Zwergplanet Ceres hat T = 4,6 Jahre. Bestimme a.
- Wähle die Monde um Jupiter. Warum ist der Wert von T² : a³ ein anderer als bei den Planeten? Bestimme mit Io die Masse des Jupiter.
Newton erklärte die Gesetze später mit der Gravitation: Für einen Körper um eine Masse M gilt T² : a³ = 4π² : (G M).