Mathe-LK · M2 · Geometrie

Punkte und Vektoren im Raum

Ein Vektor ist eine Verschiebung: Er sagt, wie weit man in jede der drei Achsenrichtungen gehen muss. Alle gleich langen, gleich gerichteten Pfeile stellen denselben Vektor dar. Mit Vektoren rechnet man koordinatenweise. Daraus folgen Mittelpunkt, Schwerpunkt und die Fragen, die hinter vielen Abituraufgaben stecken: Liegen drei Punkte auf einer Geraden, vier in einer Ebene?

So gehst du vor

1Wähle unten einen Bereich: Punkte, Linearkombination, kollinear und komplanar oder Figuren.
2Ziehe Punkte und Pfeilspitzen mit dem Finger. Weil ein Finger nur zwei Richtungen hat, wählst du „waagerecht“ oder „senkrecht“; genaue Werte stellst du unter „Koordinaten“ ein.
3Dreh die Ansicht mit einem Finger auf freier Fläche. Erst das Drehen zeigt, wo ein Punkt wirklich liegt.
4Rechts läuft die Rechnung wie im Skript mit.

Bereich

Ansicht:

Punkte ziehen:

Ein Finger auf freier Fläche dreht die Ansicht, zwei Finger zoomen. Punkte ziehst du in der gewählten Richtung; die gestrichelten Linien beim Ziehen zeigen den Weg vom Ursprung zum Punkt. Gestrichelt und blass: verdeckt (hinter der Ebene). Das Schrägbild zeichnet wie das Skript die x₁-Achse verkürzt; beim Drehen wird senkrecht projiziert.

Koordinaten

A(1 | 2 | 3)

x₁ = 1

x₂ = 2

x₃ = 3

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Rechnung

PunkteA(1 | 2 | 3), B(3 | −2 | 7)

Spitze minus FußAB = OB − OA = 3 − 1−2 − 27 − 3 = 2−44

Länge|AB| = √36 = 6

MittelpunktOM = 12 (OA + OB) = 205, M(2 | 0 | 5)

Einheitsvektor1|AB| · AB = 13−2323

Aufträge

Bereich „Punkte“, A(1 | 2 | 3) und B(3 | −2 | 7): Bestimme AB, |AB|, den Mittelpunkt M und den Einheitsvektor in Richtung AB von Hand und vergleiche.
Verschiebe A und B unter „Koordinaten“ beide um +1 in x₂-Richtung. Was ändert sich an den Ortsvektoren, was an AB? Was sagt das über Vektoren?
Stelle C(4 | −4 | 9) statt B ein und notiere AC. Liegen A, B, C auf einer Geraden? Begründe mit einem Vielfachen.
Bereich „Linearkombination“: Stelle a = 210 und b = 012 ein. Bestimme r und s so, dass X der Punkt (3 | 2 | 1) ist. Rechne zuerst, prüfe dann, indem du X ziehst.
Lässt sich (3 | 2 | 2) mit denselben a und b erreichen? Begründe.
Bereich „Kollinear und komplanar“, Vorlage „komplanar“: Rechne r und s nach. Ziehe dann c mit „in der Ebene von a, b“. Was bleibt in der Rechnung immer gleich?
Bereich „Parallelogramm“: Für A(1 | 0 | 0), B(4 | 1 | 0), C(5 | 4 | 1) ist D gesucht. Warum nimmt man OA + BC und nicht OA + CB? Welche Figur entsteht, wenn du B auf die Strecke AC ziehst?

Theorie: Skript M2, Kapitel „Vektoren“.