Mathe-LK · M1 · Analysis
Umkehrfunktion: Spiegeln an y = x
Die Umkehrfunktion f beantwortet die umgekehrte Frage: nicht „Welcher Wert gehört zu x?“, sondern „Zu welchem x gehört dieser Wert?“. Liegt der Punkt (a | b) auf dem Graphen von f, dann liegt (b | a) auf dem Graphen von f: Das Vertauschen der Koordinaten ist die Spiegelung an der Geraden y = x. Das geht nur, wenn f streng monoton ist.
So gehst du vor
- 1Wähle eine Funktion. Ziehe den Punkt A auf dem Graphen von f und beobachte den blauen Spiegelpunkt A′ auf dem Graphen von f. Du kannst auch A′ ziehen.
- 2Vergleiche die Koordinaten von A und A′ und die beiden Steigungsdreiecke: Aus „nach rechts, nach oben“ wird „nach oben, nach rechts“.
- 3Schalte „Definitionsbereich einschränken“ ein und ziehe die grauen Punkte auf der x-Achse. Wo ist f nicht mehr umkehrbar?
- 4Bestimme den Term von f zuerst selbst, dann „Umkehrfunktion berechnen“.
Graph von fGraph von fy = x
Funktion
f(x) = ex, f ′(x) = ex
A(0,00 | 1,00) → A′(1,00 | 0,00)
f(0,00) = 1,00 ⇔ f(1,00) = 0,00
Steigung in A: f ′(0,00) = 1,00
Steigung in A′ Zusatz: (f)′(1,00) = 1f ′(f(1,00)) = 11,00 = 1,00
Df = ℝ, Wf = ℝ+
f ist dort streng monoton wachsend, also umkehrbar.
Df = Wf = ℝ+, Wf = Df = ℝ
Warum die Steigungen Kehrwerte sind
Beim Spiegeln an y = x werden aus waagerechten Strecken senkrechte und umgekehrt. Aus dem Steigungsdreieck „1 nach rechts, m nach oben“ wird eines mit „m nach rechts, 1 nach oben“: Die Steigung in A′ ist 1m. Als Formel Zusatz: Aus f(f(x)) = x folgt mit der Kettenregel f ′(f(x)) · (f)′(x) = 1, also (f)′(x) = 1f ′(f(x)) — vorausgesetzt f ′ ≠ 0. Achtung: f ist nicht der Kehrwert 1f(x); vergleiche mit dem Schalter „Kehrwert zum Vergleich“.
Aufträge
- ex und ln(x): Ziehe A auf (0 | 1). Wo liegt A′? Welche Steigungen haben beide Graphen dort? Gib D und W von f und f an.
- Ziehe A so, dass f dort die Steigung 2 hat. Bestimme die Koordinaten von A′ exakt und die Steigung von ln(x) in A′. Welche Ableitung von ln(x) legt das nahe?
- Beispiel f(x) = e2x − 1: Bestimme f(x) mit Definitionsbereich (auflösen, vertauschen). Prüfe mit dem Punkt A(12 | 1) aus dem Skript.
- x2 auf ℝ: Begründe mit den Punkten A und B, warum f nicht umkehrbar ist. Schränke den Definitionsbereich auf zwei verschiedene Arten so ein, dass f umkehrbar wird, und gib jeweils den Term von f an.
- x2 für x ≥ 0: Ziehe A in den Ursprung. Was passiert mit dem Steigungsdreieck und der Tangente an den Graphen von √x? Warum verlangt die Umkehrregel f ′ ≠ 0?
- Zusatz Leite die Ableitung von √x mit der Umkehrregel her und prüfe sie in A′(4 | 2).
- Ein Mitschüler meint, die Umkehrfunktion von ex sei 1ex. Widerlege mit dem Schalter „Kehrwert zum Vergleich“.
Theorie: Skript M1 Analysis, Abschnitte „Umkehrfunktion“, „Wurzelfunktion“ und „Exponential- und Logarithmusfunktion“.