Mathe-LK · M3 · Stochastik

Medizinischer Test

Ein Test erkennt 95 % der Kranken und schlägt nur bei 2 % der Gesunden falsch an. Du wirst positiv getestet. Wie wahrscheinlich bist du krank? Die Antwort hängt vor allem davon ab, wie häufig die Krankheit überhaupt ist. An 1000 Personen siehst du, warum: Es gibt so viel mehr Gesunde, die falsch positiv getestet werden können. Baum und Vierfeldertafel dazu findest du auf der Seite „Baumdiagramm zum Anfassen“.

So gehst du vor

1Schau zu, wie die 1000 Personen getestet werden. Jeder Punkt ist eine Person.
2Wähle die Ansicht „sortiert“ und danach „nur positiv Getestete“. Schätze den Anteil der Kranken, bevor du rechts nachliest.
3Ziehe die Regler oder unten in der Kurve den Punkt: Die Personen wechseln sofort die Gruppe.
4„Neue 1000 Personen“ zieht eine neue Gruppe. Vergleiche die gezählten Werte mit den erwarteten.

krank, positiv (richtig positiv)0

krank, negativ (falsch negativ)0

gesund, positiv (falsch positiv)0

gesund, negativ (richtig negativ)0

Ansicht

Beispiel

Grundrate P(K)

1,0 %

Sensitivität P_K(+)

95,0 %

Spezifität P_K(−)

98,0 %

krank, wenn positiv

32,4 %

gesund, wenn negativ

99,95 %

Sensitivität: Anteil der Kranken, den der Test erkennt. Spezifität: Anteil der Gesunden, den der Test als gesund erkennt. Die Begriffe stehen nicht im Skript, gemeint sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten im Regler.

Die Rechnung läuft mit

P(+) = P(K) · P_K(+) + P(K) · P_K(+)

P(+) = 0,01 · 0,95 + 0,99 · 0,02 = 0,0095 + 0,0198 = 0,0293

P₊(K) = P(K ∩ +)P(+) = 0,00950,0293 ≈ 0,324

Häufigkeiten: Von 1000 Personen sind im Mittel 9,5 krank und positiv, aber 19,8 gesund und positiv. Das macht 9,5 von 29,3.

	positiv (+)	negativ (−)	Summe
krank	9,5 0	0,5 0	10,0 0
gesund	19,8 0	970,2 0	990,0 0
Summe	29,3 0	970,7 0	1.000,0 1000

Oben in jedem Feld der Erwartungswert für 1000 Personen, darunter grau die Anzahl in dieser Gruppe.

Wie stark hängt das Ergebnis von der Grundrate ab?

Durchgezogen: P₊(K) nach einem positiven Test. Der Punkt lässt sich ziehen.

Aufträge

Beispiel „seltene Krankheit“: Wie viele von 1000 Personen sind im Mittel krank und positiv, wie viele gesund und positiv? Bestimme daraus P₊(K) ohne Formel.
Erkläre den Unterschied zwischen P_K(+) = 0,95 und P₊(K) ≈ 0,32 in je einem Satz. Warum verwechselt man die beiden so leicht?
Tippe mehrmals auf „Neue 1000 Personen“ und notiere P₊(K) aus den gezählten Werten. Warum schwankt der Wert so stark, obwohl die Gruppe 1000 Personen groß ist?
Stelle die Grundrate auf 10 % und dann auf 0,1 % (Sensitivität 95 %, Spezifität 98 %). Notiere jeweils P₊(K). Bei welcher Grundrate ist ein positiver Test gerade 50 zu 50? Rechne es aus und prüfe an der Kurve.
Bei 1 % Grundrate soll der Test besser werden. Was bringt mehr: die Sensitivität auf 100 % oder die Spezifität auf 99,9 % zu erhöhen? Begründe mit dem Bild.
Wie sicher ist ein negativer Test im Beispiel „seltene Krankheit“? Bestimme P₋(K) und deute den Wert.
Schalte den zweiten Test ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, nach zwei positiven Tests im Beispiel „seltene Krankheit“? Rechne von Hand nach.

Theorie: Skript M3 Stochastik, Abschnitt „Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit“.