Mathe-LK · M3 · Stochastik
Prognose- und Konfidenzintervall
Zusatz: Diese Seite geht über den Abiturstoff hinaus. Ist die Trefferwahrscheinlichkeit p bekannt, sagt das Prognoseintervall, wo die relative Häufigkeit h einer Stichprobe voraussichtlich liegt. Bei einer Umfrage ist es umgekehrt: h ist gemessen, p ist unbekannt. Das Konfidenzintervall sammelt alle p, die zum gemessenen h passen.
So gehst du vor
- 1Ziehe im Bild den blauen Punkt: Der senkrechte Schnitt durch das Band ist das Prognoseintervall zu p.
- 2Ziehe den roten Punkt: Der waagerechte Schnitt ist das Konfidenzintervall zu h.
- 3Ändere n und das Niveau und beobachte die Breite des Bands.
- 4Ziehe weiter unten viele Stichproben: Jede liefert ein eigenes Intervall. Zähle, wie viele das wahre p verfehlen.
Im getönten Band liegen alle Paare mit |h − p| ≤ 1,96 · √(p(1 − p) : n). Blau das Prognoseintervall, rot das Konfidenzintervall, jeweils auch auf der Achse.
Stichprobenumfang n
200Niveau
wahre Trefferwahrscheinlichkeit p
0,30gemessene relative Häufigkeit h
0,330Prognoseintervall zu p: [0,236; 0,364]
Konfidenzintervall zu h: [0,269; 0,398]
Näherung mit h unter der Wurzel: [0,265; 0,395]
h liegt im Prognoseintervall zu p, und zugleich liegt p im Konfidenzintervall zu h.
Die Rechnung läuft mit
Prognoseintervall
p ± 1,96 · √p (1 − p)n
= 0,3 ± 1,96 · √0,3 · 0,7200 ≈ 0,3 ± 0,064
Konfidenzintervall
(h − p)² ≤ 1,96²n · p (1 − p)
1,019208 p² − 0,679208 p + 0,108900 ≤ 0
Lösungsformel: p1 ≈ 0,269 und p2 ≈ 0,398
Viele Stichproben, viele Intervalle
Jede Linie ist das Konfidenzintervall einer Stichprobe, die neueste steht oben. Rot: Das Intervall verfehlt das wahre p. Das wahre p steht fest, die Intervalle sind zufällig.
Von selbst laufen lassen
Berechnung des Intervalls
enthalten p, gezählt
– %
enthalten p, berechnet
94,7 %
Ziel: etwa 95 % der Intervalle enthalten das wahre p.
Der berechnete Wert summiert P(X = k) über alle k, deren Intervall p enthält. Er weicht vom Niveau ab, weil X ganzzahlig und nur näherungsweise normalverteilt ist.
Wie groß muss die Stichprobe sein?
halbe Breite ε des Intervalls
0,030n ≥ (1,962ε)² = (1,960,060)² ≈ 1.067,1, also mindestens 1068 Befragte.
Das reicht für jedes p, denn es ist p (1 − p) ≤ 14.
Aufträge
- Bestimme das 95-%-Prognoseintervall für p = 0,3 und n = 200, erst von Hand, dann im Bild. Eine Umfrage liefert h = 0,38. Was folgt daraus?
- Von 400 Befragten stimmen 180 zu. Bestimme das Konfidenzintervall von Hand über die quadratische Ungleichung und vergleiche mit dem Bild. Ist eine Mehrheit belegt?
- Ziehe im Bild die beiden Punkte so, dass der schwarze Punkt genau auf dem Rand des Bands liegt. Erkläre: Wann liegt h im Prognoseintervall zu p, und wann liegt p im Konfidenzintervall zu h?
- Vervierfache im Beispiel h = 0,45 den Stichprobenumfang von 400 auf 1600. Was geschieht mit dem Intervall? Stelle danach bei n = 400 das Niveau auf 99 %. Was kostet die größere Sicherheit?
- Stelle n = 200 und p = 0,3 ein. Ziehe 1000 Stichproben. Wie viele Intervalle verfehlen p? Jemand sagt: „Das wahre p liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit in diesem Intervall.“ Was ist daran ungenau?
- Stelle n = 30 und p = 0,05 ein und vergleiche die beiden Berechnungen. Warum versagt die Näherung hier? Was passiert bei h = 0?
- Eine Umfrage soll auf ± 3 Prozentpunkte genau sein. Wie viele Personen braucht man? Und für ± 1 Prozentpunkt?
Theorie: Skript M3 Stochastik, Abschnitt „Prognose- und Konfidenzintervall“ (Zusatz).