Mathe-LK · M2 · Geometrie

Gerade und Ebene

Setzt man den allgemeinen Punkt der Geraden in die Koordinatenform ein, bleibt eine Gleichung für t. Hat sie genau eine Lösung, schneidet g die Ebene (Durchstoßpunkt); ist sie für jedes t falsch, ist g parallel; ist sie immer wahr, liegt g in E. Der Schnittwinkel α liegt zwischen g und ihrem „Schatten“ in der Ebene (gestrichelt).

So gehst du vor

1Die Gerade g geht durch A und B. Ziehe die beiden Punkte (waagerecht, senkrecht oder „in E“) oder stelle sie unter „Koordinaten“ ein.
2Ändere die Ebene mit den Reglern oder wähle eine Vorlage.
3Rechts läuft das Verfahren aus dem Skript mit: Geradenpunkt einsetzen, nach t auflösen, Schnittpunkt und Schnittwinkel.
4Mit „Winkel in wahrer Größe“ blickst du so auf die Szene, dass α unverzerrt erscheint.

Ansicht:

Punkte ziehen:

Ein Finger auf freier Fläche dreht die Ansicht, zwei Finger zoomen. Punkte ziehst du in der gewählten Richtung; die gestrichelten Linien beim Ziehen zeigen den Weg vom Ursprung zum Punkt. Gestrichelt und blass: verdeckt (hinter der Ebene). Das Schrägbild zeichnet wie das Skript die x₁-Achse verkürzt; beim Drehen wird senkrecht projiziert.

Koordinaten

A(2 | 1 | 4)

x₁ = 2

x₂ = 1

x₃ = 4

Gerade

Rechnung

EbeneE: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 5, n = 212

Geradeg: x = 214 + t · 212 (Stützpunkt A, u = AB)

Einsetzen2 (2 + 2t) + (1 + t) + 2 (4 + 2t) = 5 ⇔ 13 + 9t = 5

Auflösen9t = −8 ⇒ t = −89

SchnittpunktOS = 214 − 89 · 212 = 2919209, also S(29 | 19 | 209)

Richtungenu ∘ n = 2 · 2 + 1 · 1 + 2 · 2 = 9 ≠ 0: g schneidet E

Beträge|u| = √9 = 3, |n| = √9 = 3

Schnittwinkelsin(α) = |u ∘ n||u| · |n| = 93 · 3 = 1 ⇒ α = 90°

Ebene E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 5

Vorlage

n₁ (vor x₁)

n₂ (vor x₂)

n₃ (vor x₃)

d

Hinweise

Für den Schnittwinkel mit einer Ebene steht im Zähler das Skalarprodukt aus Richtungs- und Normalenvektor; deshalb der Sinus: Der Kosinus würde den Winkel zur Normalen liefern, also 90° − α. Der Normalenvektor ist auf die Länge 2 verkürzt gezeichnet. „in E“ hält den gezogenen Punkt in der Ebene.

Aufträge

Gerade „h aus dem Skript“ (A(2 | 1 | 4), B(4 | 2 | 6)) und E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 5: Berechne den Schnittpunkt von Hand und vergleiche. Warum ist der Schnittwinkel genau 90°?
Wähle „g aus dem Skript“ (B(3 | 1 | 3)). Was liefert das Einsetzen, was das Skalarprodukt u ∘ n?
Lege g in die Ebene: Wähle „in E“ und ziehe A und B in die Ebene. Woran erkennt man in der Rechnung, dass g in E liegt?
Wähle den Boden E: x₃ = 0 und eine Gerade mit Richtungsvektor 101, z. B. A(0 | 0 | 1), B(1 | 0 | 2). Welcher Schnittwinkel ergibt sich? Begründe ohne Formel.
Gerade „schräg“: Berechne α. Welchen Winkel erhält man, wenn man fälschlich den Kosinus nimmt, und was bedeutet er?
Ziehe B so, dass der Schnittwinkel immer kleiner wird, ohne dass g parallel wird. Was passiert mit dem Schnittpunkt und mit t?

Theorie: Skript M2, Abschnitte „Gerade und Ebene“ und „Schnittwinkel“.