Mathe-LK · M1 · Analysis
Von f zu f′ und F
Im Teil A ist oft nur ein Graph gegeben, gesucht ist der Graph der Ableitung oder einer Stammfunktion, und das ohne Funktionsterm. Dafür liest du Nullstellen, Extremstellen und Vorzeichen ab und übersetzt sie: Der Wert von f ist die Steigung von F, der Wert von f′ ist die Steigung von f. Hier hängen die drei Graphen zusammen, und du kannst f mit den Fingern formen.
So gehst du vor
- 1Wähle eine Funktion aus dem Skript oder die freie Form.
- 2Ziehe den schwarzen Punkt in einem der drei Bilder: Die Stelle u läuft in allen dreien mit.
- 3Vergleiche die Tangente an F mit dem roten Balken bei f und die Tangente an f mit dem grünen Balken bei f′. Rechts leuchtet die passende Zeile der Tabelle.
- 4Bei der freien Form ziehst du die roten Punkte auf und ab. F verschiebst du am blauen Punkt C senkrecht.
- 5Blende einen Graphen aus, skizziere ihn selbst und blende ihn zum Vergleich wieder ein.
Stammfunktion F
Funktion f
Ableitung f′
Jede Tangente trägt die Farbe des Graphen, der ihre Steigung liefert: Die Tangente an F ist rot wie f, die Tangente an f ist grün wie f′. HP, TP, SP und WP stehen für Hoch-, Tief-, Sattel- und Wendepunkt.
Funktion f
Stelle u
1,00Konstante C der Stammfunktion
1,0Rechnung
f(x) = 12(x + 1)(x − 2)
f′(x) = x − 12
F(x) = 16x³ − 14x² − x + C
F(1) = −0,08
F′(1) = f(1) = −1F fällt
F″(1) = f′(1) = 0,5
f steigt, F ist linksgekrümmt
| f | F (Stammfunktion) |
|---|---|
| f > 0 | F steigt |
| f < 0 | F fällt |
| Nullstelle mit VZW | Extremstelle |
| Extremstelle | Wendestelle |
| Nullstelle ohne VZW | Sattelstelle |
Gleiche Tabelle für f′ und f.
Besondere Stellen
x ≈ −1: f wechselt von + nach −, F hat einen Hochpunkt
x ≈ 2: f wechselt von − nach +, F hat einen Tiefpunkt
x ≈ 0,5: f hat einen Tiefpunkt, F einen Wendepunkt
Aufträge
- Skriptbeispiel 12(x + 1)(x − 2): Blende F aus. Bestimme aus f die Stellen, an denen F Hoch- oder Tiefpunkte hat, und wo F steigt. Skizziere F und blende den Graphen wieder ein.
- Wähle 12x³ − x². Ziehe u nach 0 und nach 2. Worin unterscheiden sich die beiden Nullstellen von f, und was bedeutet das für F?
- Ziehe am blauen Punkt C auf und ab. Was ändert sich an F, was bleibt gleich? Warum gibt es unendlich viele Stammfunktionen?
- Abitur 2025, Teil A, P1: Wähle 14x³ − 3x. Begründe mit den Nullstellen von f, wo eine Stammfunktion Extremstellen hat. Prüfe am Bild: Wie viele Extrempunkte, welcher Art?
- Freie Form: Forme f so, dass F genau zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt hat. Welche Vorzeichenfolge braucht f?
- Freie Form: Forme f so, dass F überall steigt und trotzdem zwei Wendepunkte hat.
- Rückwärts: Wähle sin(x) und blende f und F aus. Es bleibt nur f′. Bestimme mit der Tabelle (für f′ und f) die Extremstellen von f im Bild und skizziere f.
Theorie: M1 Analysis, Abschnitt „Vom Graphen von f zum Graphen von F“, dazu „Monotonie“, „Extrempunkte“ und „Wendepunkte und Krümmung“.