Mathe-LK · M1 · Analysis

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Am Einheitskreis sind cos(x) und sin(x) die Koordinaten des Punkts, den man nach einem Bogen der Länge x erreicht. Im Abitur rechnet man immer im Bogenmaß: Der Vollkreis hat den Umfang 2π, das entspricht 360°. Läuft der Punkt weiter, wiederholen sich die Werte, deshalb sind Sinus und Kosinus periodisch. Mit den Parametern a, b, c, d beschreiben sie Schwingungen, Tageslängen oder Wasserstände.

So gehst du vor

1Ziehe den Punkt P am Kreis: Die blaue Strecke ist cos(x), die rote sin(x). Beim Einrasten springt er in Schritten von 15°.
2Darunter entstehen die Graphen. Du kannst auch dort die Punkte ziehen oder den Umlauf abspielen.
3Schalte zwischen Bogenmaß und Grad um. Rechts steht die Umrechnung, bei besonderen Winkeln auch der exakte Wert.
4„Zweite Lösung“ zeigt den Spiegelpunkt mit demselben Sinus- oder Kosinuswert.
5Im zweiten Teil ziehst du die allgemeine Sinuskurve an den Punkten P und Q oder löst eine Zielkurve.

Einheitskreis

Grün ist der Bogen der Länge 1,05. Weitere Umläufe zeichnet er als Spirale etwas außerhalb des Kreises.

Winkelmaß

Bogen x

1,05

Rechnung

x = 1,047 = π3

α = 60°

x = α180° · π = 60°180° · π ≈ 1,05

P(cos(x) | sin(x)) = P(0,5 | 0,87)

sin(x) = 0,866 = √32

cos(x) = 0,5 = 12

Pythagoras: sin²(x) + cos²(x) = 0,75 + 0,25 = 1

Sinus und Kosinus als Graphen

sin(x)cos(x)

Allgemeine Form f(x) = a · sin(b(x − c)) + d

P liegt bei (c | d) auf der gestrichelten Mittellinie. Q liegt auf dem Graphen in der Höhe d + a, sein waagerechter Abstand zu P legt die Periode fest. Die blaue Strecke ist die Amplitude, der grüne Pfeil die Periode.

Funktion

Beispiele

a (Amplitude |a|)

1,00

b (Periode p = 2πb)

1,00

c (Verschiebung nach rechts)

0,0

d (Mittellinie y = d)

0,0

Rechnung

f(x) = sin(x)

Amplitude: |a| = 1

Periode: p = 2π1 = 6,28

Mittellinie: y = 0

Maximum 1, Minimum −1

Aufträge

Stelle x = π6 ein (das sind 30°). Lies die exakten Werte von Sinus und Kosinus ab und begründe mit dem Bild, warum sin(π6) = cos(π3) gilt.
Löse sin(x) = 12 im Intervall [0; 2π]. Bestimme die zweite Lösung erst von Hand und schalte dann „Zweite Lösung“ ein.
Löse cos(x) = −12 im Intervall [0; 2π]. Welche Spiegelung gehört zum Kosinus?
Rechne 225° ins Bogenmaß und x = 1 in Grad um und prüfe an der Anzeige. Warum musst du am WTR auf das Bogenmaß achten?
Spiele den Umlauf ab und schalte „ganze Kurven“ ein. Lies aus den Graphen ab, um wie viel der Kosinus gegenüber dem Sinus verschoben ist.
Skriptbeispiel f(x) = 2 cos(π3x) − 1: Bestimme von Hand Amplitude, Periode, Mittellinie, Maximum und Minimum. Lade danach das Beispiel „Skript“.
Abitur 2025, Teil A, W2: Der Graph von f(x) = a · cos(π2 · x) + b hat bei x = 0 ein Maximum mit dem Wert 2,5 und bei x = 2 ein Minimum mit dem Wert −0,5. Bestimme a und b. Beachte: Das b der Aufgabe heißt hier d.
Abitur 2026, Teil B, I 1.2: Lade das Beispiel „Abitur 2026“: h(x) = −π4 · cos(π3x) + 1. Eine andere Düse hat den Maximalwert 2 und die 1,5-fache Periode. Stelle eine passende Kurve ein und gib einen Term an.
Löse zwei Zielkurven. Notiere jedes Mal zuerst Mittellinie, Amplitude und Periode, dann b und c.

Theorie: M1 Analysis, Abschnitte „Trigonometrische Funktionen“ und „Trigonometrische Gleichungen“.