Mathe-LK · M2 · Geometrie

Parameter-, Normalen- und Koordinatenform

Dieselbe Ebene lässt sich auf drei Arten aufschreiben. Die Parameterform sagt, wie man zu jedem Punkt hinkommt. Die Normalenform sagt, was senkrecht auf der Ebene steht. Die Koordinatenform ist eine einzige Gleichung und für die meisten Rechnungen am bequemsten. Hier übst du den Weg von jeder Form zu den anderen.

So gehst du vor

1Wähle, welche Form gegeben ist. Beim Wechsel bleibt die Ebene dieselbe, nur ihre Griffe ändern sich.
2Parameterform: Ziehe A und die Spitzen von u und v. Normalenform: Ziehe A und die Spitze von n. Koordinatenform: Ziehe die Spurpunkte auf den Achsen oder nimm die Regler.
3Die beiden anderen Formen und der Rechenweg laufen mit.
4Ziehe X in der Ebene: Der Punkt erfüllt alle drei Formen.

Gegeben ist die

Ansicht:

Punkte ziehen:

Ein Finger auf freier Fläche dreht die Ansicht, zwei Finger zoomen. Punkte ziehst du in der gewählten Richtung; die gestrichelten Linien beim Ziehen zeigen den Weg vom Ursprung zum Punkt. Gestrichelt und blass: verdeckt (hinter der Ebene). Das Schrägbild zeichnet wie das Skript die x₁-Achse verkürzt; beim Drehen wird senkrecht projiziert.

Koordinaten

A(1 | 0 | 0)

x₁ = 1

x₂ = 0

x₃ = 0

Vorlage

Dieselbe Ebene in drei Formen

Parameterform (gegeben)

E: x = 100 + r · 120 + s · 013

Normalenform

E: (x − 100) ∘ 6−31 = 0

Koordinatenform

E: 6x₁ − 3x₂ + x₃ = 6

Umrechnung

Normalenvektoru × v = 120 × 013 = 6−31

Stützpunkt einsetzend = n ∘ a = 6 · 1 + (−3) · 0 + 1 · 0 = 6

ErgebnisE: 6x₁ − 3x₂ + x₃ = 6

SpurpunkteS₁(1 | 0 | 0)S₂(0 | −2 | 0)S₃(0 | 0 | 6)

Punktprobe mit X

Parameterr = 0,5, s = 0,5: X(1,5 | 1,5 | 1,5)

Normalenform(x − a) ∘ n = 0,51,51,5 ∘ 6−31 = 0 ✓

Koordinatenform6 · 1,5 + (−3) · 1,5 + 1 · 1,5 = 6 ✓

Hinweise

Der Normalenvektor ist beim Umrechnen so einfach wie möglich geschrieben (ganze, teilerfremde Zahlen): Jedes Vielfache wäre genauso richtig. In der Koordinatenform und der Parameterform ist er deshalb nur der Richtung nach gezeigt, nicht in voller Länge. Mit „in E“ bleibt ein gezogener Punkt in der Ebene, die Ebene ändert sich dann nicht, nur ihre Gleichung sieht anders aus.

Welche besonderen Lagen man an der Koordinatenform abliest, zeigt die Seite „Koordinatenform verstehen“. Die Ebene aus drei gegebenen Punkten baut die Seite „Ebene durch drei Punkte“ auf.

Aufträge

Vorlage „Parameterform“: Bestimme die Koordinatenform von Hand und mache die Probe mit C(1 | 1 | 3).
Vorlage 2x₁ + 3x₂ + 6x₃ = 12: Bestimme eine Parameterform über die Spurpunkte. Ziehe dann S₃ von 2 auf 4. Wie lautet die neue Koordinatenform? Rechne nach.
Parameterform: Stelle die Zieh-Art auf „in E“ und ziehe die Spitze von u nach 233. Was ändert sich an der Parameterform, was an der Koordinatenform? Warum?
Normalenform: Ziehe A mit „in E“ an eine andere Stelle. Welche Formen sehen dann anders aus, welche nicht?
Normalenform: Ziehe A senkrecht und beobachte d. Wie hängt d von A ab? Ziehe dann die Spitze von n: Um welchen Punkt dreht sich die Ebene?
Vorlage 2x₁ + 3x₂ = 6: Warum klappt der Weg über drei Spurpunkte nicht? Gib selbst drei Punkte der Ebene an und daraus eine Parameterform.

Theorie: Skript M2, Abschnitte „Ebenen in Parameterform“ und „Normalenform und Koordinatenform“.