Mathe-LK · M2 · Geometrie
Abstände und Spiegelungen
Abstand heißt immer kürzeste Entfernung, und die kürzeste Verbindung steht senkrecht. Deshalb laufen alle Abstandsrechnungen auf ein Lot hinaus. Spiegeln ist eng verwandt: Man geht den Weg zum Lotfußpunkt und noch einmal genauso weit. Den Abstand eines Punkts von einer Ebene zeigt die Seite Abstand Punkt – Ebene.
So gehst du vor
- 1Wähle unten Punkt und Gerade, windschiefe Geraden oder Spiegelungen.
- 2Suche den kürzesten Weg zuerst selbst: Ziehe Ft auf der Geraden oder X und Y auf den beiden Geraden und beobachte die Anzeige.
- 3Schalte dann den Lotfußpunkt oder die kürzeste Verbindung ein und vergleiche.
- 4Ziehe P, die Stützpunkte und die Pfeilspitzen: Die Rechnung läuft mit.
Bereich
Ansicht:
Punkte ziehen:
Ein Finger auf freier Fläche dreht die Ansicht, zwei Finger zoomen. Punkte ziehst du in der gewählten Richtung; die gestrichelten Linien beim Ziehen zeigen den Weg vom Ursprung zum Punkt. Gestrichelt und blass: verdeckt (hinter der Ebene). Das Schrägbild zeichnet wie das Skript die x1-Achse verkürzt; beim Drehen wird senkrecht projiziert.
Länge der Verbindung
6,00
Skalarprodukt
6,00
Koordinaten
P(2 | 3 | 4)
x1 = 2
x2 = 3
x3 = 4
t
−1,00Rechnung
Geradeg: x = 100 + t · 110
PunktP(2 | 3 | 4)
Bei t = −1Ft(0 | −1 | 0), FtP ∘ u = 244 ∘ 110 = 6
Ziehe Ft auf der Geraden, bis das Skalarprodukt null wird, oder schalte den Lotfußpunkt ein.
Aufträge
- Punkt und Gerade, Beispiel im Skript: Ziehe Ft und notiere für t = 0, 1, 2, 3 die Länge und das Skalarprodukt. Bei welchem t ist die Länge am kleinsten, und was gilt dort für das Skalarprodukt?
- Rechne dasselbe Beispiel von Hand: t, F und d.
- Ziehe P mit „parallel zu g“. Was geschieht mit F, was mit d? Welche Fläche bilden alle Punkte mit demselben Abstand von g?
- Windschiefe Geraden, Beispiel im Skript: Suche durch Ziehen von X und Y die kleinste Länge. Rechne dann d mit der Formel und vergleiche.
- Vorlage „Würfelkanten“: Gib den Abstand ohne Rechnung an und prüfe ihn mit der Formel.
- Schalte die Ebene durch g parallel zu h ein und wähle „längs g“. Erkläre damit, warum in der Formel dieselbe Rechnung steht wie bei der Hesse’schen Normalenform.
- Spiegelungen: Spiegle P(2 | 3 | 4) an g: x = 100 + t 110 und P(2 | 1 | 4) an 2x1 + x2 + 2x3 = 5. Rechne zuerst.
- Gerade an Punkt: Warum genügt es, den Stützpunkt zu spiegeln? Wo muss Z liegen, damit die Bildgerade g selbst ist?
Theorie: Skript M2, Kapitel „Abstände und Spiegelungen“.