Physik-LK · Skript 5 · Quantenphysik

Wellenpaket

Diese Seite geht über den Unterrichtsstoff hinaus. Ein Elektron, dessen Ort nur ungefähr bekannt ist, beschreibt man durch ein Wellenpaket: ψ ist eine Welle mit begrenzter Ausdehnung, |ψ|² gibt die Antreffwahrscheinlichkeit an. Wie sich ψ mit der Zeit ändert, sagt die Schrödingergleichung. Sie wird hier während des Zuschauens numerisch gelöst. So siehst du das Zerfließen, die Reflexion an einer Stufe und den Tunneleffekt.

So gehst du vor

1Wähle ein Potential. Ziehe das Paket mit dem Finger an seinen Startort, bei Stufe und Barrieren auch die schwarzen Punkte für Höhe und Breite.
2Stelle die mittlere Energie E₀ und die Anfangsbreite σ ein und tippe „Start“.
3Rechts läuft die Rechnung mit: Breite, Norm und die Wahrscheinlichkeiten links und rechts vom Hindernis.
4Die Rechnung hält an, kurz bevor das Paket den Rand erreicht. Dann sind die Werte für R und T fertig.

Grau: potentielle Energie. Farbig: |ψ|², auf der Höhe der mittleren Energie gezeichnet, in eigenem Maßstab. Dünne Linie: Realteil von ψ. Die Zeit läuft stark verlangsamt: Eine Sekunde entspricht 6 fs.

Potential

mittlere Energie E₀

1,00 eV

Anfangsbreite σ

1,00 nm

Tempo

6 fs je Sekunde

Zeit t

0,0 fs

Breite Δx

0,00 nm

Mittlerer Ort

0,00 nm

Δx · Δp in h : 4π

1,00

Was die Rechnung liefert

Norm: ∫|ψ|² dx = 1,0000

Energie: 0,000 eV (bleibt gleich)

Unbestimmtheit: Δx · Δp = 1,00 · h4π (mindestens 1 · h4π)

Wellenzahl am Start: k = 5,12 nm⁻¹, also λ = 1,23 nm, Geschwindigkeit 593 km · s⁻¹

Blau: Breite Δx aus der Rechnung. Rot gestrichelt: exakte Lösung für das freie Paket. Nach einer Reflexion zählt Δx den Abstand der Teilpakete mit.

Tunneln: ln(T) über der Breite b

Potential „Barriere“, E₀ kleiner als V₀: Lass das Paket für mehrere Breiten durchlaufen, bis die Rechnung anhält. Im Diagramm ln(T) über b: fast eine Gerade, T fällt exponentiell.

Nr.	Breite b in nm	Transmission T

Aufträge

Frei: Lass ein Paket mit σ = 0,6 nm und eines mit σ = 2 nm laufen. Welches zerfließt schneller? Begründe mit der Unbestimmtheitsrelation.
Stelle E₀ = 0 ein. Bewegt sich das Paket? Was geschieht mit Δx und was mit dem Produkt Δx · Δp?
Beobachte die Norm während eines Laufs. Was würde es bedeuten, wenn sie kleiner als 1 würde?
Stufe mit V₀ = 1,5 eV: Vergleiche E₀ = 1 eV und E₀ = 2 eV. Was erwartest du klassisch, was zeigt die Rechnung? Wie tief dringt das Paket bei 1 eV in die Stufe ein? Probiere auch eine Stufe nach unten aus.
Barriere mit E₀ = 1 eV, V₀ = 1,5 eV, b = 0,5 nm: Lies T ab und vergleiche mit der exakten Lösung. Addiere R und T.
Fülle die Tabelle mit fünf Breiten zwischen 0,2 nm und 1 nm und bestimme κ. Warum reagiert ein Rastertunnelmikroskop so empfindlich auf den Abstand?
Doppelbarriere: Lass E₀ = 0,4 eV und 0,8 eV laufen und vergleiche T. Warum kommt bei 0,8 eV viel mehr durch als durch eine einzelne Barriere dieser Höhe? Denke an stehende Wellen zwischen den Barrieren. Hier sickert auch nach dem Anhalten noch etwas durch; schalte „am Rand anhalten“ aus und beobachte das Paket zwischen den Barrieren.
Harmonisch: Bei σ = 0,62 nm und ħω = 0,10 eV schwingt das Paket, ohne zu zerfließen. Stoppe die Periodendauer und vergleiche mit T = hħω. Was passiert bei σ = 1,2 nm?

Theorie: Quanten-Skript, Abschnitte „Der Tunneleffekt“ und „Ortsmessung am Einzelspalt“.