IMP 8 · Logik und Graphen
Wahrheitstafeln und De Morgan
Eine Aussage ist entweder wahr (w) oder falsch (f). Aus Aussagen entstehen durch Verknüpfen neue Aussagen. Wie bei Termen rechnest du von innen nach außen. Eine Wahrheitstafel zeigt alle Fälle auf einen Blick.
So gehst du vor
- 1Tippe eine Formel über die Zeichentasten ein oder nimm ein Beispiel.
- 2Stelle „Selbst ausfüllen“ ein, fülle die Tafel und prüfe sie.
- 3Tippe auf eine Zeile oder ins Mengenbild: Zeile und Feld gehören zusammen.
- 4Vergleiche unten zwei Formeln und bearbeite die Aufträge.
Wahrheitstafel
| A | B | ¬A | A ∨ B | ¬A ∧ (A ∨ B) |
|---|---|---|---|---|
| w | w | f | w | f |
| w | f | f | w | f |
| f | w | w | w | w |
| f | f | w | f | f |
Tippe auf eine Zeile: Das Mengenbild zeigt das passende Feld.
2 Aussagen: 22 = 4 Zeilen.
Formel
Beispiele
Mengenbild
Im Kreis ist die Aussage wahr, außerhalb falsch. Gefärbt ist, wo die ganze Formel wahr ist.
Die Zeichen
| Zeichen | Name | gelesen | ist wahr, wenn … |
|---|---|---|---|
| ¬A | Negation | nicht A | A falsch ist |
| A ∧ B | Konjunktion | A und B | beide Aussagen wahr sind |
| A ∨ B | Disjunktion | A oder B | mindestens eine Aussage wahr ist |
| A ⊻ B | Kontravalenz | entweder A oder B | genau eine Aussage wahr ist |
| A ⇒ B | Implikation | wenn A, dann B | immer, außer wenn A wahr und B falsch ist |
| A ⇔ B | Äquivalenz | A genau dann, wenn B | beide den gleichen Wahrheitswert haben |
¬ bindet am stärksten, dann ∧, dann ∨ und ⊻, dann ⇒, zuletzt ⇔. Im Zweifel setze Klammern.
Zwei Formeln vergleichen
Paar
| A | B | ¬(A ∧ B) | ¬A ∨ ¬B | gleich? |
|---|---|---|---|---|
| w | w | f | f | ✓ |
| w | f | w | w | ✓ |
| f | w | w | w | ✓ |
| f | f | w | w | ✓ |
Die Spalten stimmen in allen 4 Zeilen überein: Die Formeln sind gleichwertig.
¬(A ∧ B)
¬A ∨ ¬B
Rückwärts: Finde eine Formel zur Spalte
| A | B | gesucht | deine Formel |
|---|---|---|---|
| w | w | f | – |
| w | f | w | – |
| f | w | f | – |
| f | f | f | – |
Aufträge
- Fülle die Tafel für (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) selbst aus. Welche Verknüpfung aus dem Kasten „Die Zeichen“ hat dieselbe Ergebnisspalte?
- Vergleiche (A ∧ B) ∨ C mit A ∧ (B ∨ C). In welchen Zeilen unterscheiden sie sich? Was bedeutet das für Klammern?
- Stelle das Paar „De Morgan 1“ ein und sage die Regel in Worten: „Es stimmt nicht, dass Anna und Ben kommen“ heißt dasselbe wie …? Wähle dann „Falle“: Für welche Fälle ist ¬A ∧ ¬B zu streng?
- „Wenn es regnet, ist die Straße nass.“ Formuliere die Umkehrung und die Kontraposition. Welche der beiden ist gleichwertig zum Ausgangssatz? Prüfe mit den Paaren „Umkehrung“ und „Kontraposition“.
- Bestimme, wie viele verschiedene Ergebnisspalten es bei zwei Aussagen gibt. Finde im Feld „Rückwärts“ zu drei neuen Spalten je eine möglichst kurze Formel.
- Stelle (A ⊻ B) ⊻ C ein. Finde eine einfache Regel, wann die Formel wahr ist.
Die Regeln von De Morgan sagen: Beim Verneinen einer Klammer wird jede Aussage verneint, und aus ∧ wird ∨ (und umgekehrt).