Physik-LK · Skript 5 · Quantenphysik

Unbestimmtheit am Einzelspalt

Elektronen mit dem Impuls p laufen auf einen Spalt der Breite b. Vor dem Spalt haben sie keinen Querimpuls, p_x = 0. Der Spalt legt den Ort quer zum Strahl auf Δx = b fest: eine Ortsmessung. Dahinter verteilen sich die Treffer über das Beugungsbild. Wer unter dem Winkel α zum ersten Minimum fliegt, hat den Querimpuls p_x = p · sin(α) = hb. Daraus folgt Δx · Δp_x ≈ h: Je schmaler der Spalt, desto breiter das Beugungsbild.

So gehst du vor

1Stelle Beschleunigungsspannung und Spaltbreite b ein. Die Treffer der Elektronen bauen das Beugungsbild auf.
2Warte, bis das Hauptmaximum deutlich ist. Schiebe den Zeiger mit dem Finger auf das erste Minimum über oder unter der Mitte.
3Tippe „b und x₁ in die Tabelle“. Wiederhole für mindestens fünf Spaltbreiten bei gleicher Spannung.
4Berechne für jede Messung Δx · Δp_x und vergleiche mit h. Danach „Auswertung zeigen“.

Zeiger bei x =

40,0 µm

Spaltbreite b

1,00 µm

Treffer

Den Zeiger (gestrichelte Linie mit Dreieck) mit dem Finger im Schirmbild oder Histogramm verschieben. Die Skizze links ist in Strahlrichtung nicht maßstäblich; der Fächer endet auf der Höhe des ersten Minimums im Schirmbild.

Beschleunigungsspannung U_B

1,00 kV

Spaltbreite b = Δx

1,00 µm

Schirmausschnitt

Treffer je Sekunde

200

Schirm im Abstand L = 1,0 m hinter dem Spalt. Beim Ändern von Spannung, Spaltbreite oder Ausschnitt wird der Schirm geleert.

Messreihe: Lage des ersten Minimums x₁ über 1b

Die Tabelle nimmt b und x₁ auf, das Diagramm zeigt x₁ über b⁻¹. Spannung während der Messreihe nicht ändern (bisher größte Spaltbreite 2,00 µm).

Nr.	Spaltbreite b in µm	erstes Minimum x₁ in µm

Beobachten und deuten

Ein schmalerer Spalt legt den Ort quer zum Strahl genauer fest, dafür streuen die Querimpulse stärker: Das Beugungsbild wird breiter. Das Produkt Δx · Δp_x bleibt etwa gleich h. Die Unbestimmtheitsrelation ist keine Aussage über ungenaue Messgeräte: Jeder einzelne Treffer hat einen scharfen Ort. Sie beschreibt die Streuung vieler gleich präparierter Elektronen.

Aufträge

Verkleinere die Spaltbreite schrittweise von 2,0 µm auf 0,2 µm. Beschreibe, wie sich das Schirmbild ändert.
Skriptaufgabe: U_B = 1,0 kV, b = 1,0 µm, Schirm in 1,0 m. Berechne die de-Broglie-Wellenlänge und die Lage des ersten Minimums. Prüfe mit dem Zeiger.
Schätze ab, wie stark die Querimpulse und die Quergeschwindigkeiten hinter dem Spalt mindestens streuen. Wie weit würde ein klassisches Teilchen mit dieser Quergeschwindigkeit bis zum Schirm seitlich abweichen?
Nimm die Messreihe auf und zeige, dass x₁ · b konstant ist. Berechne daraus Δx · Δp_x und vergleiche mit h und mit der Form h4π der Formelsammlung.
Erhöhe die Beschleunigungsspannung bei fester Spaltbreite. Was ändert sich, was bleibt gleich? Begründe mit p.
Jemand sagt: „Mit einem besseren Schirm könnte man das Beugungsbild schärfer machen.“ Nimm mit Blick auf die einzelnen Treffer Stellung.

Theorie: Quanten-Skript, Kapitel „Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation“, Abschnitt „Ortsmessung am Einzelspalt“.