Ohne Zuordnung · Rotation

Wettrollen auf der schiefen Ebene

Ein Körper, der hinabrollt, muss seine Lageenergie teilen: Ein Teil bewegt ihn vorwärts, der Rest dreht ihn. Je mehr Masse weit außen sitzt, desto mehr Energie steckt in der Drehung und desto langsamer kommt er voran. Beim Rollen gilt v = ω · R. Das Trägheitsmoment schreibt man als I = k · m · R². Der Formfaktor k hängt nur von der Form ab. Wir setzen Rollen ohne Gleiten voraus und lassen Rollwiderstand und Luftwiderstand weg.

So gehst du vor

1Tippe eine Bahn an und wähle Körper, Masse und Radius. Du kannst jede der drei Bahnen anders bestücken.
2Stelle die Neigung am orangen Griff oder am Regler ein und überlege, wer gewinnt.
3Tippe „Start“. Die Uhr jeder Bahn stoppt nach 2,00 m an der Lichtschranke.
4Tabelle A: Lass denselben Körper bei mindestens fünf Neigungen rollen und übernimm jeweils α und t der gewählten Bahn.
5Tabelle B: Lass bei fester Neigung denselben Körper mit verschiedenen Massen und Radien rollen.

1: Vollkugel

–,––– s

2: Vollzylinder

–,––– s

3: Dünnes Rohr

–,––– s

Die Körper sind etwas größer gezeichnet, als es zum Maßstab der Bahn passt. Damit sie wirklich rollen, braucht es Haftreibung: Für das dünne Rohr bei 25° reicht eine Haftreibungszahl von 0,23. Der Gleitklotz ist zum Vergleich da: Er gleitet ganz ohne Reibung und dreht sich nicht.

Bahn

Körper auf Bahn 1

Masse m

500 g

Radius R

5,0 cm

Neigung α

8,0 °

Warum es auf die Form ankommt

Am Fuß ist aus der Lageenergie Bewegungs- und Drehenergie geworden: m · g · h = 12 · m · v² + 12 · I · ω²

Mit ω = vR und I = k · m · R² kürzen sich m und R heraus: g · h = 12 · v² · (1 + k)

Daraus folgt die Beschleunigung a = g · sin(α)1 + k und aus einer einzigen Laufzeit k = g · sin(α) · t²2 · s − 1 mit der Strecke s = 2,00 m.

A Formfaktor: a über g · sin(α)

Ein Körper, verschiedene Neigungen. Das Diagramm rechnet a = 2 · st² aus. Die Steigung ist 11 + k.

Nr.	Neigung α in °	Laufzeit t in s

B Masse und Radius: t über m · R²

Das Trägheitsmoment wächst mit m · R². Ändere Masse und Radius stark und sieh nach, ob sich die Laufzeit ändert.

Nr.	m · R² in kg · cm²	Laufzeit t in s

Formfaktoren zum Vergleich

Aufträge

Lass Vollkugel, Vollzylinder und dünnes Rohr gegeneinander rollen. Sage vorher die Reihenfolge voraus und begründe sie.
Gib dem dünnen Rohr 2000 g und der Vollkugel 50 g. Ändert sich die Reihenfolge? Und wenn das Rohr den kleinsten, die Kugel den größten Radius bekommt?
Fülle Tabelle B und zeige, dass die Laufzeit nicht von m · R² abhängt, obwohl das Trägheitsmoment sich dabei stark ändert. Warum gleicht sich das aus?
Bestimme mit Tabelle A den Formfaktor der Vollkugel und vergleiche mit dem Lehrbuchwert. Berechne k auch aus einer einzigen Laufzeit.
Schalte die Energie ein. Welcher Anteil steckt am Fuß beim Vollzylinder in der Drehung? Leite den Anteil aus k her.
Wie viel früher als das dünne Rohr wäre der Gleitklotz unten? Berechne das Verhältnis der Zeiten und prüfe.
Bestimme k von Körper X. Welche Form könnte er haben? Löse erst danach auf.