Ohne Zuordnung · Spezielle Relativitätstheorie

Energie, Impuls und E = m · c²

Klassisch gilt E_kin = ½ · m · v². Danach wäre ein Elektron schon bei 0,26 MeV so schnell wie das Licht. Im Beschleuniger misst man etwas anderes: Das Tempo sättigt knapp unter c, die Energie wächst trotzdem weiter. Richtig sind E = γ · m · c² und p = γ · m · v. Dabei ist m immer die Ruhemasse, sie ändert sich nicht. Auf dieser Seite misst du das selbst: Du stoppst die Laufzeit von Teilchen über verschiedene Strecken.

So gehst du vor

1Wähle eine Spannung U. Das Teilchen trägt die Ladung e, also ist E_kin = e · U: 1 MV ergibt 1 MeV.
2Ziehe den Detektor D₂ auf eine Strecke Δx. Tippe „Puls schicken“ und übernimm die Laufzeit in Tabelle A.
3Miss bei derselben Spannung mindestens drei Strecken. Kabel und Elektronik verzögern das Signal, die Gerade geht also nicht durch den Ursprung.
4Aus der Steigung folgt das Tempo. Tippe „β in Tabelle B“. Tabelle A wird dabei geleert.
5Wiederhole das für mehrere Spannungen von 0,05 MV bis 15 MV. Erst dann „Auswertung zeigen“ in Tabelle B.

Laufzeit t

–,–– ns

Bewegungsenergie

1,00 MeV

Das Bild läuft stark verlangsamt. Die Laufzeit misst eine schnelle Elektronik auf etwa 0,15 ns genau. Bei jedem Puls streut der Wert.

Teilchen

Spannung U

1,00 MV

Strecke Δx

10 m

Tabelle A ist leer.

A Laufzeit über Strecke

Für die Gerade gilt t = Δx : v + t₀. Die Steigung ist 1 : v, der Achsenabschnitt t₀ die Verzögerung durch Kabel und Elektronik.

Nr.	Strecke Δx in m	Laufzeit t in ns

B Tempo über Bewegungsenergie: Elektron

Gestrichelt erscheint mit der Auswertung die Grenze β = 1, grau die klassische Kurve, farbig die relativistische.

Nr.	E_kin in MeV	β = v : c

C Energie und Impuls

Die Beziehung E² = (p · c)² + (m · c²)² ist der Satz des Pythagoras. Die Kathete m · c² bleibt immer gleich, nur der Maßstab des Bilds passt sich an.

Bewegungsenergie E_kin

1,00 MeV

γ = 1 + E_kin : (m · c²) = 2,957

β = 0,9411

E = γ · m · c² = 1,511 MeV

p · c = γ · m · v · c = 1,422 MeV

E² = 2,283 MeV²

(p · c)² + (m · c²)² = 2,283 MeV²

D Ruheenergie und Massendefekt

Auch ein ruhender Körper hat Energie: E₀ = m · c². Das gilt auch umgekehrt: Wer Energie abgibt, wird leichter. Ein Kern ist deshalb leichter als seine Bausteine. Die Differenz ist der Massendefekt Δm, und Δm · c² ist die Bindungsenergie. Wie sie von der Massenzahl abhängt und warum, zeigt das Tröpfchenmodell.

Bausteine: 2 · 1,00783 u + 2 · 1,00866 u = 4,03298 u

Atom: 4,00260 u

Δm = 0,03038 u (0,75 % der Bausteine)

Gerechnet mit der Masse des Wasserstoffatoms, damit sich die Elektronen wegheben. 1 u · c² = 931,49 MeV.

Bindungsenergie

28,3 MeV

je Nukleon

7,07 MeV

Aufträge

Elektronen: Miss β für mindestens fünf Spannungen, darunter 0,05 MV, 0,5 MV und 5 MV. Beschreibe den Verlauf in Tabelle B.
Bei welcher Energie hätte ein Elektron klassisch die Lichtgeschwindigkeit? Wie schnell ist es dort wirklich?
Warum ist die Laufzeit über 30 m bei 5 MV und bei 15 MV fast gleich, obwohl die Energie dreimal so groß ist? Wie groß ist der Unterschied? Kann deine Messung ihn zeigen?
Vergleiche Elektron und Proton bei 15 MV. Bei welchem Teilchen reicht die klassische Rechnung, und woran liegt das?
Teilchen X hat die Ladung e. Bestimme seine Ruheenergie aus deinen Messungen bei mehreren Spannungen. Löse erst danach auf.
Stelle in Teil C beim Elektron 1,00 MeV ein. Rechne γ, E und p · c von Hand und prüfe das Dreieck.
Was passiert mit dem Dreieck bei sehr großer Energie? Was folgt für E und p · c? Wie passt Licht dazu?
Berechne für Helium-4 mit den Werten aus Teil D die Bindungsenergie von Hand. Vergleiche Eisen-56 und Uran-235 je Nukleon. Was folgt daraus für Fusion und Spaltung?
Die Sonne strahlt etwa 3,8 · 10²⁶ W ab. Wie viel Masse verliert sie je Sekunde? Warum heißt das nicht, dass Masse „in Energie verwandelt“ wird?

Die Formeln: E = γ · m · c², E_kin = (γ − 1) · m · c², p = γ · m · v, E² = (p · c)² + (m · c²)².