Physik-LK · Skript 5 · Quantenphysik

Quanten-Box

Diese Seite geht über den Unterrichtsstoff hinaus. Das Skript behandelt den eindimensionalen Topf. Hier ist das Elektron in einem Würfel der Kantenlänge L eingesperrt. In jeder Richtung muss eine stehende Welle passen, deshalb gibt es drei Quantenzahlen und E = (n_x² + n_y² + n_z²) · h²8 m L². Neu ist die Entartung: Verschiedene Zustände können dieselbe Energie haben.

So gehst du vor

1Tippe im Niveauschema auf ein Niveau. Jeder Strich steht für einen Zustand.
2Hat das Niveau mehrere Zustände, wähle einen davon aus. Die Quantenzahlen stehen auf den Knöpfen.
3Drehe die Punktwolke mit dem Finger. Jeder Punkt ist ein möglicher Messort. Die Farbe zeigt das Vorzeichen von ψ.
4Schiebe die Schnittebene und ziehe im Schnittbild den roten Punkt: Die Dichte an dieser Stelle läuft mit.

3500 Punkte, gezogen aus |ψ|². Blau: ψ > 0, orange: ψ < 0. Rot gestrichelt: Schnittebene. Mit dem Finger drehen.

Zustände (n_x, n_y, n_z) dieses Niveaus

Überlagerung mit (1, 2, 1): Winkel α

0 °

Kantenlänge L

1,00 nm

Schnitt durch den Kasten und Rechnung

Schnittebene z : L_z

0,50

E₁ = h²8 m_e L² = 0,376 eV

Zustand (2, 1, 1): E = 6 · E₁ = 2,26 eV

Das Niveau hat 3 Zustände (3-fach entartet).

Knotenebenen: (2 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) = 1

Sprung in den Grundzustand: ΔE = 1,13 eV, λ = h · cΔE ≈ 1.099 nm

Am roten Punkt: |ψ|² · V = 8,00. Bei gleichmäßiger Verteilung wäre dieser Wert 1.

Dunkel: großes |ψ|², weiß: Das Elektron wird dort nie gefunden. V ist hier das Volumen des Kastens.

Aufträge

Berechne für L = 1 nm die Energie des Grundzustands (1, 1, 1). Vergleiche mit E₁ im eindimensionalen Topf. Wo wird das Elektron am häufigsten gefunden?
Niveau 6: Betrachte die drei Zustände nacheinander. Worin unterscheiden sie sich, was haben sie gemeinsam? Wie entsteht die Entartung?
Zähle die Knotenebenen für (1, 2, 3) und prüfe mit der Anzeige. Warum hat das Niveau 14 sechs Zustände, das Niveau 12 aber nur einen?
Das Niveau 27 enthält (3, 3, 3) und (5, 1, 1). Diese Zustände lassen sich nicht durch Vertauschen ineinander überführen. Sieh dir beide an und erkläre, warum sie trotzdem dieselbe Energie haben.
Schalte auf Quader und ändere L_z. Was geschieht mit den Niveaus 6 und 9? Welche Zustände bleiben gleich, welche trennen sich, und warum?
Wähle (2, 1, 1) und überlagere mit dem Partner. Bei α = 45° entsteht ein anderes Bild, die Energie bleibt gleich. Was bedeutet das für die Frage, welches der „richtige“ Zustand eines entarteten Niveaus ist?
Quantenpunkte sind winzige Halbleiterkristalle. Bei welcher Kantenlänge L liegt der Sprung (2, 1, 1) nach (1, 1, 1) bei 2,5 eV? Welche Farbe hätte das Licht? Warum sind echte Quantenpunkte trotzdem einige Nanometer groß? Denke an die Grenzen des Modells.

Theorie: Quanten-Skript, Abschnitt „Ein Elektron im Potentialtopf“, dort die Grenzen des Modells.