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Spielereien · Muster

Primzahlsieb und Ulam-Spirale

Primzahlen sind die Bausteine der natürlichen Zahlen: Sie lassen sich nur durch 1 und sich selbst teilen. Schon vor über 2000 Jahren fand Eratosthenes einen einfachen Weg, sie zu finden: Streiche alle Vielfachen, was übrig bleibt, ist prim. Wie sie verteilt sind, wirkt wie Zufall. Schreibt man die Zahlen aber in einer Spirale auf, tauchen plötzlich Linien auf, die bis heute nicht völlig verstanden sind.

So gehst du vor

  1. 1Tippe im Sieb die 2 an: Alle ihre Vielfachen werden gestrichen. Mach mit der kleinsten übrigen Zahl weiter, oder lass den Rechner den nächsten Schritt machen.
  2. 2Beobachte, wie viele neue Zahlen jede Siebzahl noch streicht. Stelle die Spaltenzahl um und suche Muster.
  3. 3Gehe zur Spirale: Bei wenigen Ringen liest du die Zahlen, bei vielen siehst du das Muster. Tippe eine Zelle an, um die Zahl zu zerlegen.
  4. 4Ändere die Startzahl in der Mitte, probiere vor allem 41.

Sieb des Eratosthenes

Dunkel: Siebzahl. Durchgestrichen: Vielfaches, die Tönung zeigt, wer zuerst gestrichen hat. Die 1 ist keine Primzahl.

Sieben

Noch nicht gestrichen
119
Noch ist nichts gestrichen.

Spalten

Ulam-Spirale

In der Mitte steht die Startzahl, von dort läuft die Spirale nach rechts und gegen den Uhrzeigersinn nach außen. Primzahlen sind gefüllt.

Einstellen

Ringe um die Mitte

5
Angetippte Zahl
Tippe eine Zelle der Spirale an.
Im Bild
121 Zahlen, davon 30 Primzahlen, das sind 24,8 %.

Aufträge

  1. Siebe bis zum Ende. Ab welcher Siebzahl wird nichts Neues mehr gestrichen? Begründe, warum das schon vorher feststeht.
  2. Stelle 6 Spalten ein. In welchen Spalten stehen die Primzahlen ab 5? Begründe, warum sie in den anderen Spalten nicht vorkommen können.
  3. Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen mit dem Abstand 2, zum Beispiel 11 und 13. Wie viele Paare findest du bis 120?
  4. Stelle die Spirale auf 150 Ringe. Beschreibe, was du siehst. Warum sind die Linien schräg und nicht waagerecht?
  5. Rätsel: Stelle Start 41 und 20 Ringe ein. Eine Diagonale ist fast lückenlos. Tippe sie ab: Welche Zahlen stehen dort, und wie wachsen die Abstände? Finde die erste Zahl dieser Reihe, die keine Primzahl ist.
  6. Vergleiche den Anteil der Primzahlen bei 5, 20 und 150 Ringen mit Startzahl 1. Was fällt dir auf?

Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, weiß bis heute niemand. Dass es unendlich viele Primzahlen gibt, bewies schon Euklid.