Physik-LK · Skript 5 · Quantenphysik

Elektron im Potentialtopf

Im unendlich tiefen Potentialtopf kann sich ein Elektron nur in einem Bereich der Länge L aufhalten, etwa entlang eines langgestreckten Farbstoffmoleküls. Die Wellenfunktion muss an den Wänden verschwinden. Es passen also nur stehende Wellen mit L = n · λ2 in den Topf, und die Energie ist gequantelt: E_n = n² · h²8 m L² mit n = 1, 2, 3, … Die Antreffwahrscheinlichkeit ist proportional zu |ψ_n(x)|².

So gehst du vor

1Stelle die Topfbreite L ein und wähle einen Zustand n. Schalte zwischen ψ_n und |ψ_n|² um.
2Miss den Ort des Elektrons im gewählten Zustand: einzeln, dann 100- und 1000-mal. Vergleiche erst danach mit der erwarteten Verteilung.
3Wähle einen Übergang zwischen zwei Niveaus oder ein Farbstoffmodell mit mehreren Elektronen. Rechne Energie und Wellenlänge selbst aus, bevor du „Rechnung zeigen“ tippst.
4Bestimme aus dem Absorptionsspektrum von Farbstoff X die Länge L der Kette.

Links: Niveaus maßstäblich (E_n = n² · E₁), jede Wellenfunktion auf der Höhe ihres Niveaus gezeichnet, die Amplitude ist willkürlich. Rechts: Häufigkeit der gemessenen Orte in 24 Streifen.

Topfbreite L

1,00 nm

Zustand n

Ort messen

Elektronen im Topf

Übergang von n =

nach n =

Absorptionsspektrum eines Farbstoffs

Farbstoff

Messmarke λ

600 nm

Marke λ

600 nm

Absorption

0,05

A: Absorption (relativ), gemessen mit einem Spektrometer in Schritten von 2 nm. Oben die Farben des sichtbaren Spektrums.

Beobachten und deuten

Die Energie ist gequantelt, und schon die niedrigste Energie E₁ ist nicht null: Ein eingesperrtes Elektron kann nie ganz ruhen. Je kleiner der Topf, desto größer die Abstände der Niveaus. Bei Farbstoffmolekülen von etwa 1 nm Länge liegen sie im Bereich sichtbarer Photonenenergien. Die gemessenen Orte sind einzeln zufällig, ihre Häufigkeit folgt |ψ_n|². Im Zustand n = 2 wird das Elektron nie in der Mitte gefunden.

Aufträge

Halbiere die Topfbreite L. Wie ändern sich die Energien? Begründe mit der Formel für E_n.
Miss im Zustand n = 1 und n = 2 je 1000-mal den Ort. Wo wird das Elektron am häufigsten gefunden, wo nie? Wie viele Stellen ohne Treffer gibt es im Zustand n?
Ein Elektron in einem Topf der Breite L = 0,50 nm geht von n = 2 nach n = 1 über. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons und prüfe mit „Rechnung zeigen“.
Skriptaufgabe: 10 Elektronen in einer Kette der Länge L = 1,3 nm. Berechne E₁, die Energie des Übergangs vom höchsten besetzten ins niedrigste freie Niveau und die Wellenlänge. Vergleiche mit dem Maximum im Spektrum. Welche Farbe hat der Farbstoff?
Bestimme mit der Messmarke das Maximum des Spektrums von Farbstoff X und berechne daraus die Länge L. Löse erst danach auf.
Warum wachsen die Abstände der Niveaus im Topf mit n, während sie im Wasserstoffatom nach oben immer kleiner werden?

Theorie: Quanten-Skript, Kapitel „Quantenphysik der Atome“, Abschnitt „Ein Elektron im Potentialtopf“.