Ohne Zuordnung · Spezielle Relativitätstheorie

Längenkontraktion

Ein Körper hat in seinem Ruhesystem die Ruhelänge l₀. Fliegt er vorbei, misst man in Bewegungsrichtung nur l = l₀γ, wobei γ = 1√1 − β² ist. Das führt zu einem berühmten Paradoxon: Eine Stange von 10 m fliegt durch eine kürzere Scheune mit zwei Toren. Für die Scheune ist die Stange so kurz, dass sie hineinpasst. Für die Stange ist die Scheune noch kürzer. Passt sie nun hinein oder nicht?

So gehst du vor

1Stelle das Tempo ein und sieh dir den Film an. Mit dem Schieber kannst du von Hand spulen.
2Oben ist die Stange verkürzt, unten die Scheune. Halte oben an, wenn beide Tore zu sind.
3Spule langsam und beobachte unten, wann welches Tor zu ist.
4Vergleiche die Zeiten in der Tabelle mit dem Film und löse das Paradoxon.

Stange für Scheune

6,00 m

Scheune für Stange

4,80 m

Versatz der Tore

35,6 ns

Tempo β = v : c

0,8 (γ = 1,667)

Ruhelänge s₀ der Scheune

8,0 m

Film

Für die Scheune passt die Stange ab β = 0,6. Die Tore sind dort gleichzeitig für 6,7 ns zu, solange die Stange innen ist. Die Tore schalten hier ohne Verzögerung, das ist ein Gedankenversuch.

Alle Ereignisse in beiden Systemen

Ereignis	x in m	t in ns	x′ in m	t′ in ns
Tor 1 schließt	−4,00	−3,3	−5,33	12,2
Tor 2 schließt	4,00	−3,3	8,00	−23,3
Tor 1 öffnet	−4,00	3,3	−8,00	23,3
Tor 2 öffnet	4,00	3,3	5,33	−12,2
Ende der Stange passiert Tor 1	−4,00	−4,2	−5,00	10,8
Spitze der Stange erreicht Tor 2	4,00	4,2	5,00	−10,8

x und t gelten im System der Scheune, x′ und t′ im System der Stange. Beide Mitten treffen sich bei t = t′ = 0.

Warum bewegte Längen kürzer sind

Die Länge eines bewegten Körpers misst man, indem man seine beiden Enden gleichzeitig markiert. Einfacher geht es mit einer Uhr am Tor der Scheune: Die Stange fliegt mit v vorbei, und die Uhr stoppt die Zeit t₀ von der Spitze bis zum Ende. Beide Ereignisse geschehen am selben Ort, also ist das die Eigenzeit, und für die Scheune gilt l = v · t₀.

Für die Stange fliegt die Uhr an ihr entlang und braucht t = l₀ : v. Da t = γ · t₀ ist, folgt l = v · tγ = l₀γ. Quer zur Bewegung ändert sich nichts. Längenkontraktion und Zeitdilatation sind zwei Seiten derselben Sache.

Aufträge

Berechne für β = 0,8 die Länge der Stange für die Scheune und die Länge der Scheune für die Stange (s₀ = 8 m). Prüfe mit den Anzeigen.
Ab welchem Tempo passt die Stange für die Scheune hinein, wenn s₀ = 8 m ist? Und bei s₀ = 6 m?
Bringe die sechs Ereignisse der Tabelle bei β = 0,8 für beide Systeme in die zeitliche Reihenfolge. Was ändert sich?
Für die Stange schließt Tor 1 um Δt′ = γ · β · s₀ : c später als Tor 2. Wie weit fliegt die Scheune in dieser Zeit? Zeige damit, dass die Stange durchkommt, obwohl die Scheune für sie nur 4,8 m lang ist.
Was wäre, wenn Tor 2 geschlossen bliebe und aus massivem Stahl wäre? Überlege für beide Sichten, wo die Stange am Ende liegt.

Alle Beobachter sind sich über alles einig, was an einem Ort geschieht: Trifft die Stange ein Tor oder nicht? Uneinig sind sie nur über die Zeitabstände zwischen verschiedenen Orten. Darum ist das Paradoxon keines.