Spielereien · Physik zum Staunen

Harmonograph und Lissajous-Figuren

Zwei Pendel, ein Stift: Das eine bewegt den Stift waagerecht, das andere senkrecht. Ohne Dämpfung läuft der Stift immer wieder dieselbe Lissajous-Figur ab. Mit Dämpfung wird sie enger, und es entstehen die Muster eines Harmonographen, wie man sie im 19. Jahrhundert mit Tisch und Feder gezeichnet hat.

So gehst du vor

1Wähle eine Vorlage oder stelle die Frequenzen f₁ und f₂ ein.
2Ziehe auf dem Bild nach links oder rechts: Das ändert die Phase φ. Ziehe nach oben oder unten: Das ändert die Dämpfung δ.
3„Stift neu ansetzen“ zeichnet die Figur langsam. Darunter siehst du die beiden Schwingungen einzeln.
4Tippe auf „Neue Rätselfigur“ und stelle die graue Figur nach.

Vorlage

Frequenz waagerecht f₁

2 Hz

Frequenz senkrecht f₂

3 Hz

Phase φ

90 °

Dämpfung δ

0,020 s⁻¹

Verstimmung von f₂

0,005 Hz

Die beiden Schwingungen

x₁(t) = 10 cm · e^−δt · sin(2π · f₁ · t + φ)

x₂(t) = 10 cm · e^−δt · sin(2π · f₂ · t)

Halbwertszeit ln 2δ = 34,7 s

Rätselfigur

Die Figur erscheint grau hinter deiner. Dämpfung und Verstimmung müssen dafür auf null stehen.

Aufträge

Stelle f₁ = f₂ = 1 Hz ein, ohne Dämpfung. Bei welcher Phase entsteht ein Kreis, bei welcher eine schräge Strecke?
Stelle 2 : 3 ein, ohne Dämpfung. Zähle, wie oft die Figur den rechten Rand und wie oft sie den oberen Rand berührt. Prüfe die Regel an 3 : 4 und 3 : 5. Wozu kann man das benutzen?
Rätsel: Bei 1 : 2 entsteht normalerweise eine Acht. Es gibt aber eine Phase, bei der die Acht zu einem einzigen Bogen zusammenklappt, den der Stift hin und her fährt. Finde sie. Welche Kurve ist das?
Löse drei Rätselfiguren, ohne zu probieren: erst die Ränder zählen, dann die Phase suchen. Kommst du auch bei 4 : 5 ans Ziel?
Stelle 1 : 1 und φ = 0° ein, ohne Dämpfung, und gib eine Verstimmung von 0,010 Hz dazu. Welche Figuren durchläuft der Stift? Nach wie vielen Sekunden geht es von vorn los?
Wähle die Vorlage „Spirale“ (δ = 0,030 s⁻¹). Nach welcher Zeit ist der Radius nur noch halb so groß? Lies aus dem Zeitdiagramm ab, wie sich δ auswirkt, und vergleiche mit der Rechnung.

Eine echte Maschine schwingt nicht ganz so einfach. Das Prinzip ist aber dasselbe: Die Bewegungen in zwei Richtungen überlagern sich, ohne sich zu stören.