IMP 8 · Optik und Signale

Fermatsches Prinzip

Ein Rettungsschwimmer steht am Strand, jemand ruft im Wasser um Hilfe. Laufen geht schneller als Schwimmen. Soll er gerade auf das Ziel zuhalten? Oder lieber länger am Strand laufen? Der französische Mathematiker Pierre de Fermat hat gezeigt: Licht verhält sich wie dieser kluge Rettungsschwimmer. Es nimmt zwischen zwei Punkten immer den Weg mit der kürzesten Zeit.

So gehst du vor

1Ziehe den Punkt P am Ufer oder auf dem Graphen. Der Graph zeigt die Gesamtzeit für jede Lage von P.
2Suche den tiefsten Punkt des Graphen. Dort ist der Weg am schnellsten.
3Ziehe A und B an andere Stellen und ändere die Geschwindigkeiten.
4Vergleiche im schnellsten Weg die Verhältnisse in der Tabelle. Prüfe erst dann mit „Schnellsten Weg zeigen“.
5Wechsle zu „Licht: Brechung“ und „Licht: Spiegel“.

Das Lot steht in P senkrecht auf der Grenzlinie. Die Winkel α und β misst man zum Lot.

Was läuft?

Laufen v₁

6,0 ms

Schwimmen v₂

1,5 ms

Gesamtzeit

31,80 s

	Weg	Zeit	Winkel	sin
Strand	38,2 m	6,4 s	α = 58,4°	0,852
Wasser	38,2 m	25,4 s	β = 58,4°	0,852

sin αsin β = 1,00

v₁v₂ = 4,00

Der Sinus eines Winkels ist hier ein Längenverhältnis: Abstand längs der Grenzlinie (vom Fußpunkt bis P), geteilt durch die Länge des Wegstücks. Das zeigt, wie schräg der Weg läuft.

Aufträge

Rettungsschwimmer: A und B wie am Anfang, v₁ = 6 ms, v₂ = 1,5 ms. Bestimme mit dem Graphen die Stelle P mit der kürzesten Zeit. Wie viel Zeit spart er gegenüber der geraden Verbindung?
Erkläre, warum der schnellste Weg einen Knick hat. Wohin verschiebt sich P, wenn er langsamer schwimmt? Wann ist der schnellste Weg eine gerade Linie?
Stelle P für drei verschiedene Lagen von A und B auf den tiefsten Punkt des Graphen. Vergleiche jedes Mal sin αsin β mit v₁v₂. Notiere, was du findest.
Licht von Luft nach Wasser: In einem Stoff mit der Brechzahl n läuft Licht mit der Geschwindigkeit v = cn. Zeige damit, dass aus der Regel in c) das bekannte Brechungsgesetz n₁ · sin α = n₂ · sin β wird. Prüfe es für Luft und Glas. Wird das Licht zum Lot hin oder vom Lot weg gebrochen?
Spiegel: Suche den schnellsten Weg. Vergleiche α und β. Schalte das Spiegelbild von B zu und erkläre damit, warum das Reflexionsgesetz gilt.
Vertausche beim Rettungsschwimmer die Geschwindigkeiten, sodass er im Wasser schneller wäre. Beschreibe, wie sich der Knick ändert. Was entspricht dem beim Licht?

Brechung und Reflexion kennst du aus der Optik in Klasse 7. Hier folgen beide Gesetze aus einem einzigen Prinzip.