Spielereien · Muster
Collatz-Folge
Nimm eine beliebige natürliche Zahl. Ist sie gerade, halbiere sie. Ist sie ungerade, nimm sie mal 3 und zähle 1 dazu. Mit dem Ergebnis machst du dasselbe, immer weiter. Lothar Collatz stellte 1937 die Frage: Landet man so von jeder Zahl aus bei 1? Ein Kind versteht die Regel, doch die besten Mathematiker konnten die Frage bis heute nicht beantworten.
So gehst du vor
- 1Wähle eine Startzahl. Das Diagramm zeigt die ganze Folge, gerade Werte blau, ungerade in Braun, der höchste Wert ist markiert.
- 2Mit „Von vorn“ und „Ein Schritt“ gehst du die Folge langsam durch, „Abspielen“ lässt sie von allein wachsen.
- 3Tippe im zweiten Bild auf einen Punkt: Das lädt diese Startzahl. Suche Ausreißer.
- 4Ändere die Regel, dann die Tiefe im Baum, und lass zuletzt die Koralle wachsen.
Die Folge
27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137 → 412 → 206 → 103 → 310 → 155 → 466 → 233 → 700 → 350 → 175 → 526 → 263 → 790 → 395 → 1.186 → 593 → 1.780 → 890 → 445 → 1.336 → 668 → 334 → 167 → 502 → 251 → 754 → 377 → 1.132 → 566 → 283 → 850 → 425 → 1.276 → 638 → 319 → 958 → 479 → 1.438 → 719 → 2.158 → 1.079 → 3.238 → 1.619 → 4.858 → 2.429 → 7.288 → 3.644 → 1.822 → 911 → 2.734 → 1.367 → 4.102 → 2.051 → 6.154 → 3.077 → 9.232 → 4.616 → 2.308 → 1.154 → 577 → 1.732 → 866 → 433 → 1.300 → 650 → 325 → 976 → 488 → 244 → 122 → 61 → 184 → 92 → 46 → 23 → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
Startzahl und Regel
Was geschieht mit ungeraden Zahlen?
Schritte
111
Höchster Wert
9.232
Die Folge ist bei 1 angekommen.
Regel: n gerade: n : 2, n ungerade: 3n + 1.
Wie lange dauert es von jeder Startzahl aus?
Startzahlen bis
1.000Jeder Punkt ist eine Startzahl mit der Regel 3n + 1. Das Bild ist weder Zufall noch Ordnung: Es hat deutliche Bänder.
Rückwärts von der 1
Tiefe
10 Schritte0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
In Zeile k stehen alle Zahlen, die genau k Schritte bis zur 1 brauchen. Tippe eine Zahl an, um ihre Folge zu sehen.
Die Koralle
Startzahlen bis
3.000Drehung bei geraden Zahlen
10,0 °Drehung bei ungeraden Zahlen
20,0 °Jede Folge wird von der 1 aus rückwärts gezeichnet: Bei jeder Zahl knickt der Weg ein wenig ab, nach links bei geraden, nach rechts bei ungeraden Zahlen. Gemeinsame Wege fallen zusammen.
Aufträge
- Starte mit 7 und bestimme die ersten fünf Schritte ohne Hilfe. Prüfe dann mit „Ein Schritt“.
- 26 braucht 10 Schritte. Sag vorher, wie viele es bei 27 sind, und prüfe. Was hat dich überrascht?
- Wie viele Schritte braucht 1024? Finde eine Regel für alle Zweierpotenzen.
- Rekordjagd: Finde mit dem Punktebild die Startzahl unter 1000 mit den meisten Schritten.
- Im Baum hat die 16 zwei Vorgänger, die 8 nur einen. Welche Zahlen haben zwei? Begründe.
- Rätsel: Stelle die Regel 3n − 1 ein und suche zwei verschiedene Schleifen. Probiere dann bei 5n + 1 die Startzahlen 13 und 7.
Rechner haben die Vermutung für alle Startzahlen bis über 10²⁰ geprüft und keine Ausnahme gefunden. Bewiesen ist sie damit nicht.