IMP 9 · Numerik

Abkühlung numerisch

Heißer Tee kühlt am Anfang schnell ab, später immer langsamer. Das einfachste Modell sagt: In einem kurzen Zeitschritt Δt ändert sich die Temperatur proportional zum Unterschied zur Umgebung, ΔT = −k · (T − T_U) · Δt. Mit dieser Regel rechnet man Schritt für Schritt weiter. Genauso arbeiten Computer auch bei großen Aufgaben, etwa wenn Geophysiker berechnen, wie Lava und Gestein abkühlen.

So gehst du vor

1Wähle einen Vorgang. Tippe mehrmals „Nächster Schritt“ und verfolge in der Tabelle, wie aus einer Zeile die nächste entsteht.
2Tippe auf eine Zeile: Über der Tabelle stehen die Formeln dieser Zeile.
3Tippe „Alle Schritte“. Ändere die Schrittweite Δt und schalte die exakte Lösung des Modells zu.
4Stelle k so ein, dass die Rechnung möglichst gut zu den Messwerten passt. Schau dir dann die Abweichungen an.

Rechnung in SchrittenMesswerte

Vorgang

Frisch aufgegossener Tee kühlt im Zimmer ab. Start bei 80 °C, Umgebung 21 °C.

Konstante k

0,030 min⁻¹

Schrittweite Δt

5,0 min

Temperatur nach 0 min

80,0 °C

Fehler am Ende

–,–– K

Die Rechnung als Tabelle

A20

B280

C2=-$F$1*(B2-$F$2)*$F$3

	A	B	C
1	t in min	T in °C	ΔT in K
2	0,0	80,00	−8,85

	E	F
1	k	0,030
2	T_U	21
3	Δt	5,0

Messung gegen Modell

Im Diagramm: Messwert minus exakte Lösung des Modells, in K. Liegen die Kreuze zufällig um null, bleibt nur das Messrauschen. Bilden sie einen Bogen, fehlt dem Modell etwas.

Mittlere Abweichung

0,00 K

Wirklichkeit: die Tasse auf dem Tisch mit Verdunstung, Luftzug, warmem Porzellan.

Messung: einzelne Werte eines Thermometers, mit Streuung.

Modell: eine einfache Regel, die nur das Wichtigste enthält.

Simulation: die Rechnung in Schritten. Sie hängt zusätzlich von Δt ab.

Aufträge

Tee, k = 0,030 min⁻¹, Δt = 5 min: Rechne die ersten zwei Schritte mit dem Taschenrechner und vergleiche mit der Tabelle.
Baue die Rechnung in einer Tabellenkalkulation nach. Notiere, welche Formeln du in die Zellen schreibst und warum $F$1 mit Dollarzeichen geschrieben wird.
Schalte die exakte Lösung zu. Bestimme den Fehler am Ende für Δt = 20, 10, 5 und 2,5 min (k = 0,030 min⁻¹). Was passiert mit dem Fehler, wenn du die Schrittweite halbierst? Warum liegt die Rechnung beim Abkühlen unter der exakten Lösung?
Wähle k = 0,030 min⁻¹ und Δt = 40 min, dann k = 0,060 min⁻¹ und Δt = 40 min. Beschreibe, was mit der Rechnung passiert. Für welchen Wert von k · Δt kippt das Verhalten?
Stelle für den Tee k mit einem kleinen Δt von Hand so ein, dass die Rechnung gut zu den Messwerten passt. Prüfe mit „Bestes k einstellen“. Welche Form haben die Abweichungen im unteren Diagramm? Was fehlt dem Modell?
Wiederhole das für das Getränk aus dem Kühlschrank. Was ist anders?
Lavabrocken: Findest du ein k, das über die ganze Zeit passt? Vermute, warum das Modell hier so viel schlechter ist. Was bedeutet das für Rechnungen, die Forscher zur Abkühlung von Lava durchführen?

Die Rechnung lässt sich mit „Tabelle kopieren“ in eine eigene Tabellenkalkulation übernehmen. Die Formeln stehen über der Tabelle.